Abstract FR:

La thèse porte sur la. Signification de la notion d'entier naturel. Deux types de définitions de cette notion sont notamment discutés dans cette étude : les définitions axiomatiques, consistant à formuler un ensemble d'axiomes qui, idéalement, seraient vrais dans la structure qui fait l'objet de la définition, et seulement dans cette structure; et les définitions algorithmiques, consistant elles à indiquer une procédure effective pour engendrer des objets mathématiques (dans notre cas, les entiers naturels). Une difficulté propre aux définitions axiomatiques réside dans l'impossibilité de garantir à la. Fois l'adéquation descriptive de la. Théorie et la complétude déductive de la logique qui la sous-tend. Une théorie du premier ordre peut toujours avoir plusieurs interprétations non-isomorphes; en revanche, les logiques d'ordre supérieur ont des systèmes de déduction qui ne sont pas complets. La solution proposée dans la présente thèse consiste alors à ajouter aux axiomes de l'arithmétique de Peano du premier ordre une exigence méta-mathématique concernant la nature des opérations arithmétiques : les entiers naturels sont des objets que l'on peut utiliser pour calculer. Ce dernier constat s'exprime sur un mode formel dans la définition algorithmique des entiers naturels (qui seront définis par un algorithme générant le successeur). En se basant sur la propriété de ca1culabilité des entiers naturels, et en mobilisant la thèse de Church et le théorème de Tennenbaum, on peut montrer que les modèles attendus de l'arithmétique forment une sous-classe propre des modèles standards : ce sont uniquement ces modèles qui sont récursifs à un isomorphisme récursif près.