Abstract FR:

Nous traitons dans cette thèse de quelques méthodes de démonstration utilisées en arithmétique. - Dans la première partie, intitulée « Des calculs empiriques aux premières démonstrations euclidiennes », nous étudions essentiellement le passage de montrer à démontrer en nous appuyant sur des auteurs grecs tels Euclide, Théon de Smyrne ou Nicomaque de Gérase. Nous abordons également le raisonnement par l’absurde en essayant de comprendre pourquoi ce raisonnement est tellement utilisé chez Euclide. Une analyse est également faite de certaines démonstrations considérées, à tort nous semble-t-il, comme des démonstrations par l’absurde. Nous étudions enfin l’apport de Cantor, qui introduit l’infini actuel, et la distinction entre preuves cantoriennes et preuves constructives en arithmétique. - La seconde partie, intitulée « Du particulier au général » est plus particulièrement axée sur un raisonnement fort utilisé en arithmétique appelé raisonnement par récurrence. Nous analysons sa lente évolution au cours des siècles, de l’induction des premiers Pythagoriciens au raisonnement élaboré de Pascal, en passant par Euclide, les mathématiciens arabes, Maurolic et Fermat. Nous apportons finalement une critique de ce raisonnement, critique qui permet l’évocation de nouvelles méthodes de généralisation qui se révèleront fructueuses.