Abstract FR:

David Hilbert est surtout connu pour le "formalisme" et la méthode axiomatique qu'il a introduits dans les mathématiques. Une conséquence des travaux Hilbertiens, moins connue, et que ce travail se propose d'examiner, est la transformation de la notion d'existence en mathématique. Des premiers travaux mathématiques de Hilbert, en théorie des invariants, jusqu'à sa théorie de la démonstration, nous montrons comment s'élabore une conception nouvelle de l'existence mathématique, et comment cette conception se démarque des conceptions constructives, usuelles à la fin du XIXe siècle. Dans ce parcours, l'axiomatisation de la géometrie euclidienne apparait comme le moment crucial où se met en place la conception de l'existence comme noncontradiction. La formalisation croissante du travail de Hilbert à partir de ses premiers cours de géometrie, et le lent retrait de l'intuition sensible qui s'en suit conduisent le mathématicien à donner un statut inédit aux objets géometriques. Il apparait toutefois que la visée de Hilbert n'est pas une rupture totale avec l'intuition, ni l'david Hilbertobtention d'une théorie radicalement abstraite. Les fondements de l'arithmétique, dont l'enjeu est la justification de l'existence de l'ensemble des nombres réels, constituent une autre étape importante dans l'élaboration de la notion d'existence des objets mathématiques. La preuve de noncontradiction de l'arithmétique, sur laquelle repose l'existence de l'infini, s'avère cependant plus difficile que ne l'avait pensé Hilbert dans un premier temps, et cette difficulté conduit le mathématicien à élaborer sa théorie de la démonstration. L'infini mathématique n'y est entendu ni comme existant reellement, ni comme pure fiction, mais est comparé aux idéaux kantiens. Par ce statut donné à l'infini et, plus généralement, à la plupart des objets mathématiques, Hilbert nous parait finalement fonder la conception moderne de ces objets.