Abstract FR:

Selon une approche à la fois conceptuelle, historique et critique, il s'agit de dégager un certain type de permanence des concepts et des formes de la science des nombres dans le vaste mouvement de constitution et d'extension de l'arithmétique du domaine restreint des nombres entiers aux domaines élargis des nombres et des grandeurs algébriques, par adjonction de nouveaux symboles à ceux qui composent le système décimal. Cette permanence des formes n'est cependant pas dissociable de la reconnaissance dans les mathématiques en cours de constitution comme dans les mathématiques constituées, de gestes ou de schèmes qui permettent d'investir d'un sens plein les formes posées en symboles. Lorsque dans le premier tiers du XIXème siècle, C. F. Gauss fit pleinement droit, pour la première fois dans 1 'histoire des mathématiques à de nouveaux nombres entiers, il eut soin d'établir que l'arithmétique élargie aux entiers complexes procédait d'une source conceptuelle pure et dans le même temps fournissait une image géométrique qui permettait d'en reconnaître le schématisme comme arithmétique. Ces remarques subtiles et profondes conduisaient à dissocier, dans les quantités complexes, deux strates distinctes de schématisme, l'une de type arithmétique et l'autre de type géométrique, le plus souvent superposées et confondues dans les méthodes de l'algèbre élaborées à partir de la Renaissance, et offraient ainsi une méthode pour comprendre la constitution des mathématiques dans leur développement conceptuel par intrication de formes de langage et de conceptualisation hétérogènes.