Abstract FR:

La partie 1 de la thèse traite du problème de la couronne à valeurs vectorielles, en particulier opératorielles. Soit F une application analytique bornée à valeurs dans une algèbre de Banach unitaire X (par exemple X = L(H) l'espace des opérateurs bornés sur un espace de Hilbert séparable H). Si F(z) admet un inverse à gauche pour tout z dans D, de norme uniformément majorée, existe-t-il une application analytique bornée G telle que G(z) soit un inverse à gauche de F(z) pour tout z dans D? La réponse est non en général (Treil, 88). Des conditions supplémentaires sont données qui garantissent l'existence d'un inverse à gauche analytique borné, notamment F à image relativement compacte et ayant soit des valeurs particulières (par exemple des opérateurs à noyau), soit une structure analytique spécifique (par exemple pseudo-prolongeable à l'extérieur de D, à singularités dispersées). La technique fait intervenir la propriété d'approximation dans les espaces de Banach et la méthode de scalarisation des produits tensoriels. La partie 2 traite des opérateurs lisses dans le commutant d'une contraction. Quand existe-t-il des opérateurs de rang fini et compacts non nuls qui commutent avec une contraction donnée T? Quand les opérateurs de rang fini sont-ils denses dans l'espace des opérateurs compacts du commutant? Certaines conditions nécessaires sont données dans le cas général, et des conditions nécessaires et suffisantes sont obtenues lorsque la fonction caractéristique de T admet un multiple scalaire. Une condition suffisante pour l'existence dans le commutant d'opérateurs des classes de Schatten-Von Neumann (exprimée en terme d'ensemble de Beurling-Carleson) est aussi donnée dans le cas des fonctions caractéristiques scalaires. La technique est basée sur le modèle fonctionnel de Sz. -Nagy & Foias et sur une généralisation du lien entre le commutant et les opérateurs de Hankel qui n'était connu que pour les contractions de classe C. ̥̥