Abstract FR:

Soient K un corps quelconque de caractéristique X(K)≥0, K une clôture algébrique de K et p(X) :=P (X1,. . . ,Xn) e K [X]\K, avec n≥2. Pour tout [lambda] dans K, on note n([lambda]) le nombre de facteurs irréductibles distincts f[lambda], i de P-[lambda] dans K[X_]. Stein (1989) a montré sous les hypothèses: K algébriquement clos, non dénombrable avec X(K)=0 et n=2 le résultat suivant: si P est non composé sur K alors [somme de lambda] (n([lambda])-1) ≤ deg(P)-1. Ensuite, pour K algébriquement clos avec X(K) quelconque et n=2, Lorenzini (1993) a amélioré cette inégalité pour obtenir la forme suivante: [somme de lambda](n([lambda])-1) ≤ min[lambda] ([somme de]ideg(f[lambda],i))- 1. L'objet de ce travail est double. D'une part, étendre cette meilleure inégalité au cas d'un corps K arbitraire, avec X(K) et n≥2 quelconques. D'autre part, montrer que pour tout ensemble {a1,. . . , as} d'éléments distincts de K et pour tous entiers n1,. . . , ns_positifs non nuls, il existe un polynôme P (X) dans K[X] non composé sur K tel que n(ai)= ni, i=1,. . . ,s, et P-[lambda] soit irréductible pour tout [lambda] en-dehors de {a1,. . . ,as}. De plus, on peut fixer à l'avance les facteurs irréductibles des P-[lambda] sauf un.