Abstract FR:

Les grandes lignes de ma these sont l'etude de quelques problemes analytico-geometriques se rattachant a la theorie spectrale et a la degenerescence de surfaces de riemann. Elle est constituee de deux parties. Dans la premiere, je m'interesse tout d'abord a la decomposition spectrale de 1-formes differentielles sur une surface de riemann. Dans le cas d'une surface de riemann hyperbolique a pointes, m = /h ou h est le demi-plan superieur et un groupe fuchsien de premiere espece, j'en donne une interpretation differente en utilisant le fibre en spheres de m et en retraduisant la decomposition spectrale de l#2(/sl#2(r)). Cette formule fait intervenir des series d'eisenstein generalisees. Je relie ces series aux series d'eisenstein horicycliques classiques. L'un des points essentiels de ma these est l'etude de la degenerescence des series d'eisenstein hyperboliques. On considere (s#l)#l#>#0 une famille de surfaces de riemann compactes degenerant, quand on pince une geodesique, vers la surface de riemann a pointes s#0. On obtient que les series d'eisenstein hyperboliques associees a la geodesiques a pincer, convenablement ponderees, convergent uniformement sur tout compact de s#0 vers une difference de deux series d'eisenstein, chacune etant associee a une pointe parabolique limite. Dans la deuxieme partie de ma these je traite de la capacite d'une union de n intervalles de l'axe reel. N. Achieser a donne une formule de la capacite d'une union de 2 intervalles a l'aide d'integrales elliptiques et de fonctions theta de jacobi. L'approche dans ma these pour trouver la capacite d'une union de 3 intervalles fait appel a la fonction de green du complementaire dans p#1 de l'union des intervalles avec pole a l'infini. On obtient la capacite de 3 intervalles a l'aide d'integrales hyperelliptiques et de fonctions theta de genre 2. On retrouve la formule de n. Achieser soit par degenerescence soit par reduction des fonctions theta de genre 2 en fonctions theta de genre 1.