Abstract FR:

Dans cette thèse, nous montrons que le groupe de K-théorie K0 de la C*-algèbre associée aux pavages de type pinwheel est isomorphe à la somme directe de Z, Z6 et d'un groupe cohomologique H. Cette C*-algèbre est de plus munie d'une trace qui induit une application linéaire sur ce groupe de K-théorie. Nous calculons explicitement l'image, sous cette application, des sommants Z et Z6 montrant que l'image de Z est nulle et que l'image de Z6 est contenue dans le module de fréquence des patchs du pavage de type pinwheel. Nous montrons également que l'on peut appliquer le théorème de l'indice mesuré dû à A. Connes pour relier l'image de H à une formule cohomologique plus calculable. Pour l'étude de cette partie cohomologique, nous adoptons la cohomologie PV, introduite par J. Savinien et J. Bellissard, au cas des pavages de type pinwheel pour montrer que le groupe de cohomologie de Cech de dimension maximale de ces pavages est isomorphe au groupe des coinvariants entiers de la transversale canonique associée à ces pavages. Ce résultat nous permet alors de prouver la conjoncture du gap-labelling fait par J. Bellissard, dans le cas particulier des pavages de type pinwheel. Nous terminons cette étude par un calcul explicite, montrant que le gap-labeling (ou module de fréquences des patchs) est donné par 1/264Z[1/5]