Abstract FR:

Ce travail est consacre a la recherche de surfaces de riemann compactes extremes (i. E. Maxima locaux) pour la systole, ou tout au moins parfaites. En genre 4, on donne une nouvelle surface extreme et deux surfaces parfaites non extremes (ce sont les premiers exemples de telles surfaces en genre 10). La methode consiste a realiser geometriquement les groupes d'automorphismes a 4 points de branchements. En effet, le lieu des points fixes dans l'espace de teichmuller t g d'un tel groupe, depend d'un parametre complexe qu'on peut alors ajuster pour maximiser la systole. On etudie ensuite les proprietes variationnelles dans t g des surfaces obtenues. Par extension de cette methode, on trouve egalement une nouvelle surface extreme en genre 6, ainsi qu'une suite infinie de surfaces parfaites non extremes de genre g > 3. En outre, on retrouve, de maniere unifiee, les surfaces deja connues en genre 5. La methode employee pour la recherche de surfaces parfaites, permet de trouver parallelement un certain nombre de surfaces eutactiques, qui sont interessantes a classifier en elles-memes puisque ce sont les points critiques de la fonction systole. Enfin, le dernier chapitre, developpant une toute autre approche, concerne une methode purement algebrique qui permet de redemontrer l'extremalite des surfaces respectivement de bolza et de klein.