Contributions à l'étude des opérateurs de composition et des espaces d'Orlicz
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Abstract EN:
The subject of this thesis is the study of properties of composition operators, and the study of Orlicz spaces. Composition operators have been much studied since 1970, and the subject is very wide. In the two first parts, we start by recalling well-known results, and then we study the "q-somming" property for a composition operator on Bergman space, and the "Hilbert-Schmidt" property for the Hardy space H² when the composition operator symbol is an analytic aleatory function. Then we get a nearly complete caracterization in that case. We study then the quasi-compact property: an operator is quasi-compact if the distance between the sequence of its powers and the set of compact operators tends to 0. Then we get a caracterization for quasi-compactness in the case of the Hardy space H², and partial conditions in the cases of H∞ and A²∞. We prove in particular that a composition operator on H² is quasi-compact if and only if its symbol is not an inner function and has a unique fixed point in D. We also give an example of a quasi-compact operator on H² which does not have any compact iteration. In the third part, we study the case of composition operator on weighted Bergman spaces of the complex plane. The symbol is here an entire function. We shall prove that such composition operator are defined (and then bounded, using closed-graph Theorem) only when their symbol is a polynomial of degree strictly less than some integer d, depending of the weights. Then we study compacity and the "Hilbert-Schmidt" property of such operators. We shall see that in fact, a composition operator defined on such spaces is compact, and even Hilbert-Schmidt (in the Hilbertian case) excepted in a few cases. In the last part, we study Orlicz spaces. Some results on those spaces have been proven recently by P. Lefèvre, D. Li, H. Queffélec and L. Rodriguez-Piazza. We shall prove that for a class of Orlicz functions Φ, reflexive subspaces of LΦ are closed in the L¹-norm (and then on those subspaces, LΦ-topology is the same as L¹-topology), which improves an old result of Bretagnolle and Dacunha-Castelle. To prove it, we use the following result of J. Alexopoulos : when Φ *є∆°, weak-compact subsets of LΦ have equi-absolutely continuous norm. We also give a new proof of this result using a recent caracterization of weakly-compact operators on a subspace of the Morse-Transue space Mﬠ, when ﬠ є∆°, due to P. Lefèvre, D. Li, H. Queffélec and L. Rodríguez-Piazza.
Abstract FR:
L'objet de cette thèse est d'approfondir l'étude des propriétés des opérateurs de composition, ainsi que l'étude des espaces d'Orlicz. Le thème des opérateurs de composition est très vaste et a déjà beaucoup étudié par le passé. Dans les deux premières parties, nous commençons par rappeler les résultats connus, puis nous étudions la propriété “Hilbert-Schmidt” pour l'espace de Hardy H² dans le cas où le symbole de l'opérateur de composition est une fonction analytique définie aléatoirement. Nous obtenons une caractérisation presque complète dans ce cas. Nous étudions ensuite la propriété de quasi-compacité : un opérateur est quasi-compact si la distance entre la suite de ses puissances et l'ensemble des opérateurs compacts converge vers 0. Nous obtenons une condition nécessaire et suffisante pour la quasi-compacité dans le cas de l'espace de Hardy H², et des conditions partielles dans les cas de H∞ et de A²∞. Nous montrons en particulier que l'opérateur de composition sur H² est quasi compact si et seulement si son symbole n'est pas une fonction intérieure et admet un unique point fixe dans D. Nous donnons également un exemple d'un opérateur quasi-compact sur H² qui ne possède cependant aucune itérée compacte. Dans la troisième partie, nous étudions le cas d'opérateurs de composition définis sur des espaces de Bergman à poids du plan complexe. Le symbole désigne alors une fonction entière. Nous montrerons que de tels opérateurs de composition sont définis (et donc continus par le Théorème du graphe fermé) uniquement lorsque leur est un polynôme, dont le degré et le coefficient dominant dépendent des poids. Nous étudions ensuite la compacité ainsi que la nature “Hilbert-Schmidt” de tels opérateurs. Nous verrons qu'en fait, à l'exception de quelques cas limites, un opérateur de composition défini sur de tels espaces est également compact, et même Hilbert-Schmidt (dans le cas Hilbertien). Enfin, dans la dernière partie, nous nous intéressons aux espaces d'Orlicz. Des résultats sur ces espaces ont été démontrés récemment par P. Lefèvre, D. Li, H. Queffélec et L. Rodriguez-Piazza. Nous montrons que si Φ*є∆°, les sous-espaces réflexifs de LΦ sont en fait fermés pour la norme L¹ (et ainsi sur ces sous-espaces la topologie de LΦ est la même que la topologie de L¹), ce qui améliore un ancien résultat de Bretagnolle et Dacunha-Castelle. Nous utilisons un résultat de J. Alexopoulos suivant : si Φ *є∆°, les parties faiblement compactes de LΦ ont une norme uniformément absolument continue. Nous donnons également une nouvelle preuve de ce résultat en utilisant une caractérisation récente des opérateurs faiblement compacts sur un sous-espace de l'espace de Morse-Transue Mﬠ, lorsque ﬠ є∆°, due à P. Lefèvre, D. Li, H. Queffélec et L. Rodríguez-Piazza.