Abstract FR:

La théorie des variétés algébriques affines sur un corps commutatif quelconque k est développée en utilisant une nouvelle catégorie d'algèbres commutatives sur k appelées algèbres rationnelles sur k. On montre que cette catégorie possède la plupart des propriétés de la catégorie des algèbres commutatives unitaires sur k, qu'elle est complète, cocomplète, régulière, de Maltsev, codistributive, co-extensive, et une catégorie de Zariski dont l'objet initial k est simple et algébriquement clos. On montre qu'elle est bien adaptée à l'étude des ensembles algébriques affines sur k et que, si l'on remplace systématiquement les algèbres commutatives sur k par des algèbres rationnelles sur k, on obtient des résultats comparables à ceux énoncés lorsque le corps k est algébriquement clos. On obtient en particulier les dualités géométrico-algébriques suivantes. La catégorie des ensembles (resp. Variétés) algébriques affines finiment coordonnées sur k est dualement équivalente à la catégorie des algèbres rationnelles (resp. Algebres rationnelles intégrés) finiment engendrées sur k. La catégorie des variétés algébriques affines finiment coordonnées sur k et applications rationnelles dominantes est dualement équivalente à la catégorie des corps extensions rationnelles finiment engendrées de k.