Structure galoisienne relative d'anneaux d'entiers d'extensions non abéliennes
Institution:
ValenciennesDisciplines:
Directors:
Abstract EN:
Let k be a number field, Ok its ring of integers and Cl(k) its classgroup. Let G be a finite group, N/k a Galois extension with Galois group isomorphic to G, and ON the ring of integers of N. Let M be a maximal Ok -order in the semi-simple algebra k[G] containing Ok[G], and Cl(M) its classgroup (i. E. The classgroup of locally free M-modules). When N/k is tame (i. E. , at most tamely ramified), extension of scalars allows us to assign to ON the class of M*ON , denoted [M*ON ], in Cl(M). We define the set R(M) of realizable classes to be the set of classes c of Cl(M) such that there exists a Galois extension N/k which is tame, with Galois group isomorphic to G, and for which [M*ON ] = c. It is well known that R(M) is included in Cl◦(M), where Cl◦(M) is the kernel of the morphism from Cl(M) to Cl(k) induced by the augmentation from M to Ok. The results of McCulloh lead one to the following conjecture : R(M) is a subgroup of Cl◦(M). If G is abelian and k is any number field, it follows from the works of McCulloh that this conjecture is true. Let p be a prime number and x a primitive p-th root of unity. In this thesis, assuming x in k, we prove the conjecture when G = V*\rhoC, where V is an Fp -vector space of dimension r ≥ 1, C a cyclic group of order p^r −1, and \rho a faithful representation of C in V ; an example is the symmetric group S3. When we attempt to study this conjecture, we are faced with the embedding problem connected with the Steinitz classes. Another part of this thesis is the study of Steinitz classes of extensions with Galois group isomorphic to V*\rhoC, or to a nonabelian group of order p^3. Keywords : Rings of integers, Galois module structure, Realizable classes, Steinitz classes, Maximal order, Fröhlich’s Hom-description of locally free class groups, Fröhlich-Lagrange resolvent, Embedding problem, Cyclic codes, Primitive polynomials
Abstract FR:
Soient k un corps de nombres, Ok son anneau d’entiers et Cl(k) son groupe des classes. Soient G un groupe fini, N/k une extension galoisienne à groupe de Galois isomorphe à G et ON l’anneau des entiers de N. Soient M un Ok-ordre maximal dans l’algèbre semi-simple k[G] contenant Ok [G], et Cl(M) son groupe des classes (i. E. , le groupe des classes des M-modules localement libres). Lorsque N/k est modérément ramifiée, l’extension des scalaires permet d’associer à ON la classe de M*ON , notée [M*ON ], dans Cl(M). On définit l’ensemble R(M) des classes réalisables comme étant l’ensemble des classes c de Cl(M) telles qu’il existe une extension N/k modérément ramifiée, à groupe de Galois isomorphe à G, avec [M*ON ] = c. Il est bien connu que R(M) est inclus dans Cl◦ (M), où Cl◦ (M) est le noyau du morphisme de Cl(M) dans Cl(k) induit par l’augmentation de M dans Ok. Les résultats de McCulloh vont dans le sens de la conjecture suivante : R(M) est un sous-groupe de Cl◦ (M). Lorsque G est abélien et k un corps de nombres quelconque, les travaux de McCulloh entraînent que cette conjecture est vraie. Soient p un nombre premier et x une racine primitive p-ième de l’unité. Dans cette thèse, en supposant x dans k, nous démontrons la conjecture dans le cas où G = V*\rhoC, où V est un Fp-espace vectoriel de dimension r ≥ 1, C un groupe cyclique d’ordre p^r − 1, et \rho une représentation linéaire fidèle de C dans V ; un exemple d’un tel groupe est le groupe symetrique S3. Par ailleurs, lorsque nous essayons d’étudier cette conjecture, nous sommes confrontés au problème de plongement en liaison avec les classes de Steinitz. Une autre partie de cette thèse est l’étude des classes de Steinitz des extensions à groupe de Galois isomorphe à V*\rhoC, ou à un groupe non abélien d’ordre p^3