Abstract FR:

L'objet de cette thèse est d'obtenir, pour certaines familles d'algèbres polynomiales non commutatives à la fois classiques et quantiques, des résultats de classification et de séparation par l'équivalence rationnelle et l'homologie de Hochschild. Les résultats concernant l'équivalence rationnelle relèvent à la fois du problème de Gelfand et Kirillov en théorie de Lie et de son analogue quantique. On introduit certaines algèbres de référence, dites mixtes croisées, et on montre que des familles d'algèbres de polynômes apparaissant dans divers contextes non commutatifs leur sont rationnellement équivalentes. En vue de classer les corps de fractions de ces algèbres à isomorphisme près, on définit deux nouveaux invariants. Le premier, de nature purement quantique, est le sous-tore quantique simple maximal contenu dans une algèbre donnée. Pour établir son unicité à isomorphisme près, on démontre que tout endomorphisme d'un tore quantique simple est un automorphisme. Le second, le w-degré supérieur, est un entier mesurant le caractère classique des corps gauches considérés. Son calcul repose sur le "détressage" des relations entre générateurs par plongement dans le corps de fractions du produit tensoriel de plans quantiques et d'une algèbre de Weyl de dimension minimale sur un centre polynomial. La détermination des dérivations des algèbres de Weyl quantiques multiparamétrées (rationnellement équivalentes aux algèbres polynomiales mixtes croisées de référence) montre que la dimension du module de degré 1 en cohomologie de Hochschild de ces algèbres esr directement liée au w-degré supérieur de leur corps de fractions. Pour les algèbres polynomiales mixtes croisées elles-mêmes, on calcule leur homologie de Hochschild en tout degré dans certains cas assez généraux. Dans le cas pariculier de l'algèbre des opérateurs différentiels tordus sur un espace affine quantique on établit l'existence d'une dualité entre l'homologie et la cohomologie