Abstract FR:

La resolution d'une equation diophantienne consiste a rechercher l'ensemble des zeros entiers d'un polynome en plusieurs variables. Des travaux de logique ont montre qu'il n'existe aucun algorithme general pour resoudre ce probleme. On est donc amene a s'interesser a des classes particulieres ; on s'interesse ici aux equations de thue et aux equations superelliptiques. Pour ces deux classes, des bornes pour les solutions, et donc un algorithme au sens strict du terme sont donnees par les travaux de baker. Neanmoins, cet algorithme est inutilisable en pratique. Des recherches ulterieures ont montre comment reduire la borne de facon a la rendre utilisable. Dans le cas de l'equation de thue, nous montrons d'une part comment modifier sensiblement le processus de reduction, d'autre part comment tirer parti de diverses informations ayant trait a l'equation (information partielle sur le groupe des unites, existence d'un petit sous-corps). Ces ameliorations ont permis de resoudre des equations de thue de degre allant jusqu'a 2505, alors que le record pour l'algorithme precedent concernait une equation de degre 14. Des applications sont donnees au probleme des diviseurs primitifs des suites de lucas et de lehmer. En ce qui concerne les equations superelliptiques, nous modifions l'expose classique conduisant a la borne de baker ; combine avec les arguments pratiques developpes pour l'equation de thue, ceci permet de donner une version plus efficace de l'algorithme classique: il suffit de travailler dans des corps de nombres de degre pouvant etre deux fois moindre. Cet algorithme est utilise pour determiner les zeros entiers du cinquieme polynome de krawtchouk, ce qui resout une conjecture de diaconis et graham. Une grande partie du travail decrit dans cette these a ete realisee en collaboration avec yuri bilu