Structures de Hodge mixtes et fibrés sur le plan projectif complexe
Institution:
Toulouse 3Disciplines:
Directors:
Abstract EN:
Hodge theory has provided a deeper understanding of many topological invariants in complex algebraic geometry. The proposal of this thesis is to find a geometric equivalent of mixed Hodge structures (MHSs). Therefore, we generalize a construction by Rees that associates a graded ring to a ring filtered by a chain of ideals. This allows us to establish equivalences between categories of filtered vector spaces endowed with morphisms that are strictly compatible and categories of coherent sheaves that are equivariant for the action of a torus. The fact that filtrations are opposed translates into a strong semistability condition for the associated vector bundles. The equivalence is next applied to MHSs and yields an equivalence between the category of MHSs and a category of semistable vector bundles on the complex projective plane. This last category is shown to be Abelian, which provides a geometric proof that the category of MHSs is Abelian. We next define a new invariant of MHSs, the R-split level, and study its properties. We compute this invariant for singular and non-complete curves of genus 0 and 1. We study a relative version of the equivalence, which aims at describing variations of MHSs geometrically. This correspondence only works provided a good stratification of the base is chosen.
Abstract FR:
Le développement de la théorie de Hodge a permis une compréhension plus profonde de nombreux invariants topologiques dans le cadre de la géométrie algébrique complexe. Dans ce travail de thèse, nous nous proposons de géométriser la notion de structure de Hodge mixte (SHM). Dans ce but, nous généralisons la construction de Rees et son inverse qui permettent d'associer anneaux gradués et anneaux filtrés par une chaîne d'idéaux. Nous établissons des équivalences entre catégories d'espaces vectoriels filtrés munies de morphismes strictement compatibles et catégories de faisceaux cohérents équivariants pour l'action d'un tore. Le fait que des filtrations soient opposées se traduit géométriquement par une condition de semi-stabilité forte des fibrés associés. Cette correspondance est appliquée pour exhiber une équivalence entre la catégorie des SHMs et une catégorie de fibrés vectoriels semi-stables sur le plan projectif complexe. Nous vérifions que cette dernière catégorie est abélienne, ce qui nous donne donc une démonstration géométrique du fait que la catégorie des SHMs est abélienne, un des points de départ de la théorie de Hodge mixtes, démontré par P. Deligne. Un nouvel invariant des SHMs, le niveau de R-scindement, est alors défini et ses propriétés sont étudiées. Cet invariant est calculé pour des SHMs sur les premiers groupes de cohomologie de courbes de genre 0 et 1 possiblement singulières et non-complètes. Nous étudions aussi une version relative de la correspondance pour l'appliquer aux variations de SHMs. Cette correspondance ne fonctionne que modulo une stratification adéquate de la base