Abstract FR:

Le problème qui consiste à caractériser les operateurs différentiels provenant d'un principe variationnel a été pose pour la première fois par h. Helmholtz en 1887. Largement étudié par de nombreux auteurs, il a abouti à une classification complète des operateurs différentiels variationnels. Le problème cependant reste largement ouvert si on s'intéresse non pas à l'operateur différentiel, mais, comme il est plus naturel d'ailleurs, à l'équation différentielle. Dans le cas où l'équation est quadratique, le problème revient à caractériser les connexions qui sont de Levi-civita par rapport a une certaine métrique riemannienne (ou pseudo-riemannienne). La contribution la plus importante à ce problème est un article de Douglas (tams, 1941) où, à l'aide de la théorie de Riquier, sont classifies les systèmes d'équations différentielles variationnelles du second ordre, en d'autres termes les sprays variationnels, lorsque la dimension de m est 2. Le but de cette thèse est de donner les bases d'une généralisation en dimension n du travail de douglas. Puisque l'on est amené à étudier un système largement surdétermine, une telle généralisation passe par la réécriture des résultats de douglas à l'aide des théories plus modernes sur l'intégrabilité des systèmes surdétermines. La première partie de la thèse reprend le problème à l'aide de la théorie de l'intégrabilité formelle des systèmes différentiels telle qu'elle a été développée par Spencer et Goldschmidt. Cela fournit un cadre général ou toutes les obstructions apparaissent naturellement : elles sont liées soit à la 2-acyclicite du complexe de spencer, soit à l'impossibilité d'effectuer le premier relèvement des conditions initiales. La seconde partie de ce travail est consacrée à la généralisation en dimension n des résultats obtenus dans le cadre de ce que nous appelons sprays isotropes. Nous définissons une notion de courbure sectionnelle pour les connexions (non linéaires) associées à des lagrangiens quelconques, qui étend au cas non homogène la notion de courbure sectionnelle définie en géométrie riemannienne ou finslerienne. Il s'agit d'une fonction, construite à l'aide du tenseur de courbure et qui dépend d'un vecteur de tm et d'un plan tangent a m contenant ce vecteur. Lorsque cette fonction ne dépend pas du plan, on dit que la courbure est isotrope. Le tenseur de Douglas a alors une expression particulière. Nous étudions donc les sprays dont le tenseur de Douglas a cette expression : il s'agit de caractériser parmi les sprays isotropes ceux qui sont variationnels. Dans le cas particulier des sprays quadratiques (resp. : homogènes), le problème revient à caractériser les connexions qui sont les connexions de Levi-civita pour une métrique à courbure constante (resp. : qui proviennent d'une structure finslerienne à courbure constante). Cependant notre problème est plus général, car les équations du second ordre que nous considérons ne sont pas nécessairement quadratiques ou homogènes. En fait, même dans ce contexte particulier, le problème permet de bien comprendre l'origine des obstructions que l'on rencontre : elles dépendent de l'algèbre de lie graduée (par le crochet de Frolicher-Nijenhuis) engendrée par le tenseur de Douglas et ses dérivés successifs, ce qui au fond est bien naturel, car cette algèbre de lie est étroitement liée à la non holonomie de la connexion.