Abstract FR:

Cette these aborde trois problemes differents. On propose en premier un algorithme pour determiner le rang d'une courbe elliptique definie sur un corps de nombres. On rappelle l'algorithme de descente par 2-isogenie pour les courbes ayant de la 2-torsion, et pour les courbes sans 2-torsion, on decrit un nouvel algorithme. Cet algorithme conditionnel repose sur la resolution de l'equation de legendre, et l'on expose en detail cette resolution. Le second probleme est la resolution des equations aux normes dans les extensions relatives quelconques de corps de nombres. L'interpretation de ce probleme en termes de s-unites permet de donner une description explicite des solutions, et de resoudre entierement et de maniere satisfaisante ces equations. Le troisieme probleme aborde est la determination des discriminants minimaux des polynomes irreductibles pour les degres superieurs ou egaux a 9. Les methodes proposees fournissent de longues listes de petits discriminants qui ameliorent les bornes precedemment connues, en particulier jusqu'au degre 14. On donne egalement, en les demontrant, tous les discriminants minimaux des polynomes non irreductibles jusqu'au degre 7.