Abstract FR:

On établit un théorème de conjugaison locale en classe de différentiabilité finie entre deux difféomorphismes f et f' qui s'écrivent comme le flot à t=1 de deux champs de vecteurs éclatés x et x' au voisinage d'une singularité hyperbolique, pour les champs éclatés reduits x et x' qui est un point de selle. On calcule la différentiabilité du difféomorphisme de conjugaison en fonction de celles des difféomorphismes initiaux ainsi que sa platitude par rapport à l'identité en fonction de la platitude de f par rapport à f'. On montre que le difféomorphisme qui conjugue f et f' conjugue les champs éclatés x et x' au voisinage de la singularité en question. On rappelle quelques théorèmes de conjugaison locale en classe de différentiabilité finie établis par F. Dumortier et R. Roussarie, et on itère ces théorèmes avec celui obtenu au chapitre I pour avoir un difféomorphisme qui conjugue deux champs éclatés x(alpha ) et x'(alpha ) au voisinage du lieu singulier issu de alpha opérations d'éclatements (alpha >ou= 2); x*(alpha ) et x'(alpha ) sont entre autres supposés ne pas avoir de points semi hyperboliques. On calcule l'ordre de platitude minimum d'un champ x par rapport à un champ x' afin que les éclatés x(alpha ) et x'(alpha ) vérifient les conditions de platitude du théorème d'itération. Ensuite on donne une condition de différentiabilité et de platitude suffisante portant sur x et x' afin que le difféomorphisme de conjugaison entre x(alpha ) et x'(alpha ) (champs éclatés) soit suffisamment plat par rapport à l'identité pour se descendre au voisinage de 0 epsilon r(2) en un difféomorphisme de conjugaison dont la classe de différentiabilité est la même que celle du difféomorphisme initial. On donne enfin des choix suffisants pour la différentiabilité de x, x', et la platitude de x par rapport à x' en fonction du choix de la classe de différentiabilité du difféomorphisme de conjugaison.