Abstract FR:

Considérant une suite de variables aléatoires non-dégénérées, indépendantes et de même loi, on s'intéresse au maximum des suites de sommes partielles pour des incréments dont la longueur est la partie entière de l'expression c log(n) + d log(log(n)), ou log désigne la fonction logarithme, c une constante strictement positive, d’une constante réelle et n la taille de l'échantillon. Ce genre de problème est directement lié aux lois de type Erdoes-Renyi-Shepp. A l'aide d'un théorème de grande déviation, nous montrons comment se comportent la limite en probabilité et les limites inferieures et supérieures presque sûres de la différence entre le maximum concerne et sa limite presque sure, en fonction de d. Les résultats obtenus sont alors appliqués à un processus de renouvellement et permettent de mettre en évidence la vitesse de convergence optimale du maximum et du minimum du processus pour des accroissements de type Erdoes-Renyi; le cas particulier du processus de poisson standard est explicite. Pour finir, considérant le cas particulier ou les variables aléatoires sont indépendantes, de loi normale centrée réduite, on donne des bornes inferieures et supérieures de la distribution limite de la statistique de Shepp. Conformément aux résultats précédents, il apparait que le maximum de Shepp a un comportement limite en loi de nature oscillante, proche d'une loi de Gumel.