Abstract FR:

Dans la première partie de cette thèse, on étudie les représentations modulaires du groupe gl(n,k), des matrices carrées de dimension n a coefficients dans k. On trouve une formule des caractères pour une famille de modules simples qui est une formule stable (i. E. Couvre les cas p < n). On ne connaissait à ce jour qu'une formule conjecturalement vraie pour p supérieur ou égal à n (conjecture de Lusztig) et démontrée pour p >> n, sans borne explicite connue. Dans la seconde partie, on établit une formule des caractères combinatoires (c'est-à-dire pour laquelle la dimension des espaces de poids est obtenue comme somme de nombres positifs) pour une famille de modules simples de plus hauts poids de dimension infinie. On ne disposait jusqu'à présent que d'une formule non combinatoire (formule de Kazhdan-Lusztig). Dans la troisième partie, on étudie différentes homologies associées aux variétés symplectiques (généralisation d'un théorème de Kassel) et établit l'existence d'un morphisme non trivial entre l'homologie de lie de l'algèbre des fonctions régulières sur x et l'homologie cyclique géométrique de la variété x ; on montre l'existence de nouveaux complexes calculant cette homologie ce qui m'a permis d'obtenir une famille de nouveaux opérateurs s de Connes, de nouveaux triangles exacts.