Abstract FR:

La formule de Melnikov, qui permet de calculer la position de naissance d'orbites sous-harmoniques lorsque l'on perturbe une équation hamiltonienne, est ici généralisée de la dimension 2 a la dimension 3. Le système non perturbe admet ici 2 intégrales premières et l'on calcule 2 formules asymptotiques pour obtenir les orbites naissantes: l'une se réduit a la formule de Melnikov usuelle, l'autre est une formule nouvelle. L’intérêt vient de l'application pratique donnée à ces formules. On traite un cas modèle de ferrorésonance liée à la non-linéarité d'un transformateur. Le calcul asymptotique du chapitre 2, permet d'initialiser la recherche numérique d'orbites sous-harmoniques, dont on suivra ensuite l'évolution et les bifurcations dans l'espace des paramètres. Dans la dernière partie, on calcule les formules donnant le coefficient de généricité de la bifurcation de Hopf au moment de la bifurcation. On a implanté ces formules, dans un programme formel pour les points singuliers d'un champ de vecteurs et dans un programme numérique pour les orbites périodiques. On a appliqué cela aux bifurcations de Hopf et de Neimark-Hopf de la ferrorésonance.