Sur l'irrégularité d'un système différentiel holonome le long d'une courbe plane
Institution:
AngersDisciplines:
Directors:
Abstract EN:
Z. Mebkhout defined the irregularity bundle of a holonomic differential system along an analytic subspace. This object had appeared in the special case of the constitutive module of holomorphic functions on a complex analytic variety, as the obstruction to Grothendieck's comparison theorem, which ultimately translates the regularity of the structural bundle. The irregularity bundle also generalises in higher dimensions the irregularity space of B. Malgrange in the case of one variable. Irregularity bundles have the property of perversity but some perverse bundles are not the irregularity of differential systems. This raises the problem of determining the essential image of the irregularity functor. In this work we study this problem when the hypersurface is a curve embedded in a surface. First, we give a counterexample to the essential subjectivity: we consider the irregularity on the splitting surface of the origin of the plane along the total transform of a curve and we exhibit a perverse beam of direct non-perverse image. We then prove, using the desingularisation of a plane curve, that the irregularity restricted to the seed of an irreducible blunt curve provides an essentially surjective functor to local systems on the blunt curve. We also compute precisely the cohomology bundles of the irregularity of certain d-modules of the exponential type along a normal crossing. These calculations allow us to find differential systems such that the monodromy of the associated local system has as eigenvalues the roots of unity. Finally, we show the following result: the irregularity along a smooth curve seed is an essentially surjective functor with values in the seeds of monodromic perverse bundles. The proof of this theorem relies on the category equivalence between monodromic perverse bundles and a category of diagrams of finite dimensional vector spaces. In the latter category, the indecomposable objects are known. All the work consists therefore in reaching them, which is done by unscrewing arguments by exploiting the exactness of the irregularity functor.
Abstract FR:
Z. Mebkhout a défini le faisceau d'irrégularité d'un système différentiel holonome le long d'un sous-espace analytique. Cet objet était apparu dans le cas particulier du module constitue des fonctions holomorphes sur une variété analytique complexe, comme l'obstruction au théorème de comparaison de Grothendieck, qui traduit en définitive la régularité du faisceau structural. Le faisceau d'irrégularité généralisé aussi en dimensions supérieures l'espace d'irrégularité de B. Malgrange dans le cas d'une variable. Les faisceaux d'irrégularité ont la propriété de perversité mais certains faisceaux pervers ne sont pas l'irrégularité de systèmes différentiels. Ceci pose le problème de la détermination de l'image essentielle du foncteur irrégularité. Dans ce travail nous étudions ce problème lorsque l'hypersurface est une courbe plongée dans une surface. Dans un premier temps, nous donnons un contre-exemple a l'essentielle subjectivité : nous considérons l'irrégularité sur la surface d'éclatement de l'origine du plan le long de la transformée totale d'une courbe et nous exhibons un faisceau pervers d'image directe non-perverse. Nous prouvons ensuite, en utilisant la désingularisation d'une courbe plane, que l'irrégularité restreinte au germe d'une courbe épointée irréductible fournit un foncteur essentiellement surjectif vers les systèmes locaux sur la courbe épointée. Nous calculons également de manière précise les faisceaux de cohomologie de l'irrégularité de certains d-modules du type exponentielle le long d'un croisement normal. Ces calculs permettent de trouver des systèmes différentiels tels que la monodromie du système local associe ait pour valeurs propres les racines de l'unité. Enfin, nous montrons le résultat suivant : l'irrégularité le long d'un germe de courbe lisse est un foncteur essentiellement surjectif a valeurs dans les germes de faisceaux pervers monodromiques. La preuve de ce théorème repose sur l'équivalence de catégories entre les faisceaux pervers monodromiques et une catégorie de diagrammes d'espaces vectoriels de dimension finie. Dans cette dernière catégorie, les objets indécomposables sont connus. Tout le travail consiste donc à les atteindre, ce qui est fait par des arguments de dévissage en exploitant le caractère exact du foncteur irrégularité.