Spectre du Laplacien agissant sur les 𝝆-formes différentielles des domaines euclidiens : ensembles convexes et prescription
Institution:
ChambéryDisciplines:
Directors:
Abstract EN:
We compare some of the classical results of the Laplacian on functions with some new phenomena in the case of differential forms. First of all, it is possible to obtain small or large eigenvalues on domains whose topology and volume are fixed. So the Faber-Krahn and Weinberger inequalities do not hold les 𝝆-forms. But it is possible to give a lower bound of the first (non zero) eigenvalue on convex sets, which only involves the diameter (cf Payne-Weinberger inequality, for functions). We also get interested in convex hypersurfaces in Rn. On the other hand, we extended to differential forms the famous construction of Cheeger’s « dumbbell balls » and showed the existence of small eigenvalues on domains diffeomorphic to balls and of any diameter. Morever only one eigenvalue of these domains is small. So the Payne-Pólya-Weinberger inequality does not hold for differential forms. As a consequence, we can prescribe any finite part (without multiplicity) of the spectrum on a domain of fixed topology. Using doubling technics, we also studied the prescription on a compact manifold
Abstract FR:
Nous comparons certains des résultats classiques du Laplacien sur les fonctions avec de nouveaux phénomènes dans le cas des formes différentielles. Avant tout, il est possible d’obtenir des valeurs propres petites ou grandes sur des domaines dont la topologie et le volume sont fixés. Ainsi, les inégalités de Faber-Krahn et de Weinberger ne sont pas satisfaites pour les 𝝆-formes. Mais il est possible de donner un minorant de la première valeur propre (non nulle) sur les ensembles convexes, qui fait seulement intervenir le diamètre (cf inégalité de Payne-Weinberger, pour les fonctions). Nous nous sommes également intéressés aux hypersurfaces convexes de Rn. D’un autre côté, nous avons étendu aux formes différentielles la construction célèbre des « haltères » de Cheeger et montré l’existence de petites valeurs propres sur des domaines difféomorphes à des boules et de diamètre quelconque. De plus seule une des valeurs propres de ces domaines est petite. Ainsi, l’inégalité de Payne-Pólya-Weinberger n’est pas vérifiée pour les formes différentielles. Par conséquent nous pouvons prescrire toute partie finie (sans multiplicité) du spectre d’un domaine de topologie fixée. En utilisant les techniques du doublage, nous avons également étudié la prescription sur une variété compacte