Statistiques des diffusions : observation discrétisées, passages à niveau donné, lissage des trajectoires
Institution:
Paris 11Disciplines:
Directors:
Abstract EN:
This thesis studies the statistical properties of recurrent diffusions partially observed. The first part concerns the discretization of the time interval by means of a sampling interval Δ. 6. Let Xk Δ. Be the observed Markov chain. We consider an expansion of its transition probability density in terms of Δ. The information loss is computed as a function of Δ and of the diffusion coefficient. Then we use the autoregressive model as an approximate statistical model of the diffusion. This method yields biased estimators enables us to compute the bias. We prove a central limit theorem for functionals of Markov chains. Discretization is used to study controlled diffusions. We prove that the asymptotic gains of the discretized models converge to the asymptotic gain of the diffusion controlled on continuous time. Ln the second part, the crossings of a given barrier are studied (i. E. Zero). A continuous observation of the zero-crossings of a diffusion is not feasible. Therefore, we observe the excursions greater than Δ. We construct a minimum contrast estimator and prove its consistency and asymptotic normality. We study the properties of the families of Levy measures associated to the diffusion local time. The zero crossings of the discretized diffusion are not Markovian any more. The proposed minimum contrast estimators are consistent and asymptotically Gaussian. The previous observation enables us to find an approximation of the diffusion local time. Ln the last paper we study the smoothing of a non differentiable stationary Gaussian process by means of convolution. We prove that the number of zero-crossings of the regularized process suitably normalized converges too in L 2 to the zero local time of the given Gaussian process.
Abstract FR:
Ce travail est composé de six articles portant sur la statistique des diffusions récurrentes lorsqu'on ne dispose que d'une observation partielle des trajectoires. La première partie concerne la discrétisation de pas Δ de l'intervalle de temps d'observation. La chaîne de Markov Xk Δ observée, a une probabilité de transition dont on donne un développement en fonction de Δ. On peut ainsi évaluer la perte d'information. Les estimateurs ont un biais calculé en fonction de Δ et un théorème de limite centrale est démontré pour des fonctionnelles de chaînes de Markov. La discrétisation intervient pour des diffusions contrôlées. On montre que les gains asymptotiques de ces modèles discrétisés convergent, quand le pas tend vers zéro, vers le gain asymptotique de la diffusion continûment contrôlée. La deuxième partie étudie l'observation des passages par une barrière donnée (zéro par exemple). L'observation en temps continu des zéros de la diffusion étant impossible, on observe les excursions de longueur >Δ. Le contraste proposé donne un estimateur consistant et asymptotiquement gaussien. On étudie les propriétés des familles de mesures de Lévy. Pour les passages en zéro de la diffusion discrétisée les observations ne sont plus markoviennes. On construit des estimateurs consistants et asymptotiquement gaussiens. Cette observation permet d'approcher le temps local de la diffusion. Le dernier article étudie le lissage par convolution d'un processus gaussien stationnaire non dérivable. On montre que le nombre de passages en zéro du processus régularisé, convenablement normalisé, converge vers le temps local du processus gaussien.