Localisation, oscillations et comportement asymptotique pour les équations de Navier-Stokes
Institution:
Cachan, Ecole normale supérieureDisciplines:
Directors:
Abstract EN:
"In this thesis we study the asymptotic behavior, in space-time variables, of the solutions to the Navier-Stokes equations for a viscous incompressible fluid filling the whole space. In the first part we study the spatial localization of the velocity field. We show the impossibility, for a generic solution, to have a good spatial localization in a finite time-interval. By studying the trajectory of solutions in several functional spaces, we shall give sharp estimates on the critical level of localization that they can reach. Next we introduce a new class of symmetries which turn out to be preserved during the evolution. We give some remarkable applications of these symmetries to some problems relied to the asymptotic behavior of the energy for weak and strong solutions. We also present some explicit examples of flows, in any space dimension. In the last part we derive several space-frequency estimates for the vorticity. We also discuss the role of these estimates in numerical simulations of the Navier-Stokes equations by means of wavelets methods. "
Abstract FR:
"Dans cette thèse nous étudions le comportement asymptotique, en espace et en temps, des solutions des équations de Navier-Stokes dans Rn pour un fluide visqueux et incompressible. La première partie traite la question de la persistance au cours du temps de la localisation spatiale du champ de vitesse. On montre l'impossibilité, pour les solutions génériques, de rester bien localisées pendant un temps fini et l'on détermine de façon précise, à l'aide de l'étude de la trajectoire dans plusieurs espaces fonctionnels, le niveau critique de localisation que la solution peut atteindre. Dans la deuxième partie, nous introduisons une nouvelle classe de symétries qui sont conservées au cours de l'évolution. Nous présentons quelques applications remarquables de ces symétries aux problèmes du comportement asymptotique de l'énergie des solutions faibles et fortes. Des exemples explicites d'écoulements, en dimension d'espace quelconque, seront ici présentés. Dans la dernière partie nous obtenons des estimations de décroissance spatiale et fréquentielle poru la vorticité. Nous indiquons ensuite le rôle joué par ces estimations d'ondelettes. "