Sur l'existence et la non dégénérescence d'ondes progressives dans l'équation de Gross-Pitaevskii en dimension deux
Institution:
Université Côte d'AzurDisciplines:
Directors:
Abstract EN:
In this thesis, we focus on the study of travelling waves in the Gross-Pitaevskii equation in dimension 2, with the condition a non-trivial condition at infinity. This equation has been studied extensively, both in physical and mathematical works. It is a model for Bose-Einstein condensates, and describes the behavior of superfluids.We are interested in problems related to the research program of Jones-Roberts, in particular about the existence and unicity of a travelling wave, that minimize the energy at fixed momentum. These questions have been studied, in previous mathematical works over the last decades, using variational methods. We construct here, using perturbative methods and for small speeds, a branch of travelling waves, smooth with respect to the speed, which behaves like two vortices far from each other. Using known properties of the vortices, we can deduce good qualitative properties on this branch, that are better than the ones obtained using variational methods. This description gives a uniqueness result in a small class of functions.Then, we study stability properties of this branch. First, we show coercivity results, improving for that the known coercivity results on the vortices. In particular, we deduce the kernel of the linearized operator, which is the first of this kind on travelling waves in this equation. We also have a result about spectral stability, and a local uniqueness result in the energy space. We also are able to invert the linearized operator near a travelling wave in adapted spaces. These results are a key step for the understanding of the stability of the branch, and to show the unicity of the minimizer of the energy. These results are also a first step in understanding the interaction between several travelling waves.
Abstract FR:
Dans cette thèse, nous nous intéressons aux ondes progressives dans l'équation de Gross-Pitaevskii en dimension 2, avec une condition non triviale à l'infini. Cette équation a fait l'objet d'une étude intensive, que ce soit en physique ou en mathématiques. Il s'agit d'un modèle pour les condensats de Bose Einstein, et décrit entre autres le comportement de superfluides.Nous regardons des questions liées au programme de recherche de Jones-Roberts, notamment sur l'existence et l'unicité d'une onde progressive qui est un minimiseur globale de l'énergie à moment fixé. Ces questions ont été abordées dans des travaux précédents en utilisant des méthodes variationnelles. On construit ici, par des méthodes perturbatives et pour des petites vitesses, une branche d'onde progressive régulière par rapport à la vitesse, qui est constituée de deux vortex éloignés l'un de l'autre. Grâce aux propriétés connues sur les vortex, on peut en déduire des propriétés qualitatives satisfaisantes sur cette branche, qui sont meilleurs que ce que l'on peut obtenir par des constructions variationnelles.Ensuite, on s'intéresse à des propriétés de stabilité sur cette branche. On montre tout d'abord des résultats de coercivité, en améliorant pour cela les résultats de coercivité connus sur les vortex. On en déduit en particulier le noyau de l'opérateur linéarisé, un résultat de stabilité spectrale, ainsi que des résultats d'unicités locales dans l'espace d'énergie. On inverse aussi l'opérateur linéarisé près d'une onde progressive dans des espaces adaptés. Ces résultats sont une étape cruciale pour la compréhension de la stabilité de la branche, et pour démontrer l'unicité du minimiseur de l'énergie. Ces résultats peuvent aussi servir à comprendre l'interaction entre plusieurs ondes progressives dans un même milieu.