Equations doublement confluentes et biconfluentes de Heun : solutions et k-sommablilité [i.e. k-sommabilité], coefficients de Stokes et de connexion
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Abstract EN:
This thesis gives some results about the solutions near the singularities of the double confluent and biconfluent Heun equations which will be denoted by DCHE and BHE. We study the solutions near the irregular singularities by using the k-summability theory. We obtain, for these solutions, new integral representations defined in sectors of infinite radius. We give parametric definitions of the symmetries of the DCHE and BHE. Owing to these symmetries we obtain, for each family of equations, the Stokes and connection coefficients of the above solutions in terms of one of them ans also relations satisfied by these two coefficients. We prove that, for the DCHE, three of the above relations imply the others. We also show that we can construct a family of possible Stokes and connection matrices with any function which satisfies the three above relations. For the BHE we show that one relation implies the others. Owing to the above integral representations we obtain limit formulae for the Stokes coefficients of the DCHE and for a connection coefficient of the BHE. We use a variant of D. Schmidt and G. Wolf's method for the DCHE and a W. Balser's method for the BHE. In the last chapter, by using the integral formulae of the 2-sums, we obtain numerical approximations of the solutions and of the Stokes and connection coefficients of the BHE.
Abstract FR:
Cette thèse donne quelques résultats concernant les solutions au voisinage des points singuliers des équations doublements confluentes et biconfluentes de Heun, notées respectivement EDCH et EBH. La k-sommabilité permet d'obtenir les solutions au voisinage des points singuliers irréguliers à partir des solutions formelles. Dans le cas des EDCH et des EBH, nous obtenons ainsi de nouvelles expressions intégrales de ces solutions et nous montrons que ces expressions sont définies dans des secteurs de sommet 0 et de rayon infini. Nous donnons des définitions paramétriques des symétries des EDCH et des EBH et nous utilisons ces symétries pour étudier les coefficients de Stokes et de connexion relatifs aux solutions définies plus haut. Nous exprimons, pour les EDCH d'une part et pour les EBH d'autre part, ces coefficients en fonction de l'un d'entre eux bien choisi. Nous obtenons alors des relations vérifiées par les deux coefficients précédemment distingués. Pour les EDCH, nous prouvons que des trois relations précédentes entrainent toutes les autres et que l'on peut construire de manière unique des matrices susceptibles d'être les matrices de Stokes et de connexion des EDCH avec toute fonction vérifiant ces trois relations. Nous montrons que, pour les EBH, une seule relation suffit pour obtenir les autres. L'exploitation des expressions intégrales des k-sommes nous permet d'exprimer les coefficients de Stokes des EDCH et un des coefficients de connexion des EBH comme limite d'une suite. Nous utilisons pour les EDCH une variante d'une méthode de D. Schmidt, G. Wolf et pour les EBH une méthode de W. Balser. Les expressions intégrales des 2-sommes permettent, en calculant les coefficients des séries formelles intervenant dans les solutions formelles, d'obtenir des approximations numériques des solutions des EBH ainsi que des coefficients de Stokes et de connexion. Nous donnons quelques exemples de telles approximations.