Quantitative aspects of Anosov subgroups acting on symmetric spaces
Institution:
Sorbonne universitéDisciplines:
Directors:
Abstract EN:
This thesis addresses the study of the orbital counting problem for pseudo-Riemannian symmetric pairs under the action of Anosov subgroups of the underlying Lie group. In the first part we study this problem for the pair (PSO(p,q), PSO(p,q−1)) and a projective Anosov subgroup of PSO(p,q). We look at the orbit of a geodesic copy of the Riemannian symmetric space of PSO(p,q−1) inside the Riemannian symmetric space of PSO(p,q). We show a purely exponential asymptotic behavior, as t goes to infinity, for the number of elements in this orbit which are at distance at most t from the original geodesic copy. We then interpret this result as the asymptotic behavior of the amount of space-like geodesic segments (in the pseudo-Riemannian hyperbolic space) of maximum length t in the orbit of a basepoint. We prove analogue results for other related counting functions. In the second part we look at the pair (PSL(d,R), PSO(p,d−p)) and a Borel-Anosov subgroup of PSL(d,R), presenting contributions towards the understanding of the asymptotic behavior of the counting function associated to a geodesic copy of the Riemannian symmetric space of PSO(p,d-p) inside the Riemannian symmetric space of PSL(d,R).
Abstract FR:
L’objet de cette thèse est l’étude du problème de comptage orbitale pour des couples symétriques pseudo-Riemanniens sous l’action des sous-groupes de type Anosov du groupe de Lie sous-jacent. Premièrement nous étudions ce problème pour le couple symétrique (PSO(p,q), PSO(p,q−1)) et un sous-groupe de PSO(p,q) de type projectivement Anosov . Nous regardons l’orbite d’une copie géodésique de l’espace symétrique Riemannien de PSO(p,q−1) dans l’espace symétrique Riemannien de PSO(p,q). Nous prouvons un comportement asymptotique purement exponentiel, lorsque t tend vers l’infini, pour le nombre d’éléments dans cette orbite qui sont à distance plus petit que t de la copie géodésique originale. Nous interprétons ce résultat comme le comportement asymptotique du nombre de segments géodésiques de type espace (dans l’espace hyperbolique pseudo-Riemannien) de longueur maximale t dans l’orbite d’un point base. Nous prouvons des résultats analogues pour d’autres fonctions de comptage. Ensuite nous regardons le couple symétrique (PSL(d,R), PSO(p,d−p)) et un sous-groupe Borel-Anosov de PSL(d,R). Nous présentons des contributions vers la compréhension du comportement asymptotique de la fonction de comptage associée à une copie géodésique de l’espace symétrique Riemannien de PSO(p,d-p) dans l’espace symétrique Riemannien de PSL(d,R).