Explosion des solutions de problèmes paraboliques sous conditions au bord dynamiques
Institution:
LittoralDisciplines:
Directors:
Abstract EN:
This thesis deals with blow up phenomena for parabolic problems in a bounded domain under a dissipative dynamical boundary condition. Several problems are studied as well as reaction-diffusion equations and degenerate equations. The aim of this work is to establish the occurence of finite time blow up. So we are interested in various aspects. The comparison of solutions satisfying different boundary conditions as dynamical, Neumann and Dirichlet conditions underscores the monotonically dependance of the blow up time on the dynamical boundary condition and the damping of solutions. Thanks to comparison techniques, energy methods and spectral comparison, we obtain some lower and upper bounds of the blow up time, and sufficient conditions of finite time blow up. On the other hand, we study the asymptotic behaviour of solutions of some non-degenerate problems : we specify the growth order when approaching the blow up time. Then we caracterize the blow up set and we prove that it consists at most of a single point in the one-dimensional case.
Abstract FR:
Cette thèse traite du phénomène d'explosion de solutions de problèmes paraboliques dans un domaine borné, satisfaisant une condition dynamique dissipative sur le bord latéral temporel. Ce sujet est abordé à travers divers problèmes allant de l'équation de réaction-diffusion classique à des problèmes dégénérés. L'objectif principal de ce travail consiste à établir l'existence de l'explosion de la solution des différents problèmes considérés. Pour cela nous nous intéressons à différents aspects. La comparaison des solutions vérifiant une condition dynamique dissipative avec celles satisfaisant les conditions de Neumann ou de Dirichlet positive au bord met en évidence la monotonie du temps d'explosion en fonction de la condition dynamique ainsi que l'effet d'amortissement provoqué par cette dernière sur les solutions. Grâce à des méthodes basées sur les techniques comparatives, l'exploitation de l'énergie liée à diverses normes et la comparaison spectrale, nous établissons plusieurs minorations et majorations des temps d'explosion, ces dernières fournissant des conditions suffisantes d'explosion en temps fini. D'autre part, nous étudions le comportement asymptotique des solutions de certains problèmes non-dégénérésen précisant l'ordre de croissance des solutions, puis nous caractérisons l'ensemble d'explosion en prouvant qu'en dimension un il consiste au plus en un singleton.