Abstract FR:

Cette thèse est consacrée à l’étude mathématique de la propagation d’ondes bi-dimensionnelles à la surface d’un fluide non visqueux irrotationnel et incompressible dont la surface libre n’agit que par la gravité et la tension superficielle dans un régime fortement non linéaire. La thèse est séparée en deux parties d’égale importance. Dans la première partie, nous justifions des modèles d’approximation plus précis du point de vue mathématique pour le problème des vagues, couramment utilisés en océanographie côtière pour décrire la propagation des ondes de surface de grande amplitude. On obtient un nouveau modèle asymptotique en eaux peu profondes du type Green-Naghdil incorporant les termes dispersifs d’ordre supérieur arbitraire tout en préservant la non-linéarité totale. Un résultat sur le caractère bien posé et une propriété de stabilité sont alors établis pour le cas unidimensionnel lorsque le fond est plat et non plat en tenant compte d’une faible tension de surface. Dans la deuxième partie, un résultat de stabilité orbitale est montré pour le peakon de Degasperis-Procesi dans le cas de perturbations ayant une densité de quantité de mouvement d’abord négative, puis positive. Ceci conduit à la stabilité orbitale du profil antipeakon- peakon vis-à-vis de telles perturbations et plus généralement d’un train de antipeakon-peakon bien ordonnés.