Abstract FR:

Nous montrons, en utilisant la notion de systeme topologisant et idempotent d'ideaux due a gabriel, qu'il existe une decomposition primaire reduite et unique des modules sur les anneaux semi-artiniens. Nous utilisons les methodes de l'algebre non-commutative "classique" (travaux de lesieur, passman, renault) pour obtenir des conditions necessaires et/ou suffisantes sur un anneau a et un groupe g pour que l'anneau de groupe a(g) soit coherent et/ou semi-artinien. Nous proposons une definition des modules coplats comme limite projective de modules injectifs de type cofini au sens de vamos, nous en donnons les proprietes elementaires et montrons que, si l'anneau de base est classique alors les modules coplats sont injectifs et lineairement compacts. Nous etudions ensuite le probleme de la conservation de la platitude, de l'injectivite, de la pur-injectivite, de la fp-injectivite et de la cotorsion des modules par passage a la limite projective. En utilisant les resultats de jensen et roos sur le calcul des foncteurs derives de la limite projective, nous donnons, lorsque l'anneau est coherent et le systeme projectif flasque et indexe sur n, de nombreux cas de conservation de ces proprietes. De plus, lorsque l'anneau est principal integre, des cas de conservation de l'injectivite des modules sont donnes pour les systemes projectifs quelconques. Enfin, l'etude des cas d'annulation du foncteur limite projective etant fortement liee a celle de la dimension pure-globale des anneaux (travaux de jensen et gruson), nous calculons celle d'anneaux commutatifs utiles: produits directs d'anneaux noetheriens et limites inductives d'anneaux et nous en deduisons des exemples d'anneaux pur-hereditaires de grand cardinal