The Dehn-Seidel twist, C0 symplectic geometry and barcodes
Institution:
Sorbonne universitéDisciplines:
Directors:
Abstract EN:
We study C0-symplectic geometry through the action of symplectic homeomorphisms on Lagrangian submanifolds. More precisely, we initiate the study of the C0 symplectic mapping class group, i.e. the group of isotopy classes of symplectic homeomorphisms, and prove the first results regarding the topology of the group of symplectic homeomorphisms. For that purpose, we develop a method coming from Floer theory and barcodes theory. Applying this strategy to the Dehn-Seidel twist, a symplectomorphism of particular interest when studying the symplectic mapping class group, we generalize to C0 settings a result of Seidel concerning the non-triviality of the mapping class of this symplectomorphism. We prove that the generalized Dehn twist is not in the connected component of the identity in the group of symplectic homeomorphisms. Doing so, we prove the non-triviality of the C0 symplectic mapping class group of some Liouville domains.Our method uses some very recent results such as those of Abouzaid-Kragh related to the nearby Lagrangian conjecture and the last developments of C0-symplectic topology. In particular, we adapt and generalize to our context the local C0-continuity of barcodes proved by Buhovsky-Humilière-Seyfaddini and Kislev-Shelukhin.
Abstract FR:
Nous étudions la géométrie symplectique C0 au travers de l'action des homéomorphismes sympectiques sur des sous-variétés lagrangiennes. Plus précisément, nous initions l'étude du mapping class group symplectique C0, i.e. le groupe des classes d'isotopie des homeomorphismes symplectiques, et nous prouvons les premiers résultats concernant la topologie du groupe des homéomorphismes symplectiques. Pour ce faire, nous développons une méthode provenant de la théorie de Floer et de la théorie des codes-barres. En appliquant cette stratégie au Dehn-Seidel twist, un symplectomorphisme particulièrement intéressant pour l'étude du mapping class group symplectique, nous généralisons à un contexte C0 un résultat de Seidel concernant la non-trivialité de la classe de ce morphisme dans le mapping class group symplectique. Nous prouvons que le Dehn-Seidel twist n'est pas dans la composante connexe de l'identité dans le groupe des homéomorphismes symplectiques. Ce faisant, nous prouvons la non-trivialité du mapping class group symplectique C0 de certains domaines de Liouville.Notre méthode utilise de très récents résultats comme ceux de Abouzaid-Kragh à propos de la nearby Lagrangian conjecture, ainsi que les dernières avancées en matière de topologie symplectique C0. En particulier, nous adaptons à notre contexte la continuité locale C0 des codes-barres, prouvée par Buhovsky-Humilière-Seyfaddini et Kislev-Shelukhin.