Dynamique topologique des extractions périodiques pour les sous-shifts substitutifs
Institution:
AmiensDisciplines:
Directors:
Abstract EN:
The main subject of this thesis is the study of substitutive dynamical systems, or more generally morphic dynamical systems. We will consider two questions that are related to periodicity for such dynamical systems. We will first consider the following question : does an uniformly recurrent morphic sequence contain a constant arithmetical progression ? This problem is equivalent to determining if a cylinder [a] is visited periodically in the dynamical system that we consider, with [a] a letter belonging to the underlying alphabet. This periodicity is closely related to the eigenvalues that are roots of unity associated to the dynamical system. The first step of our study consists in determining these eigenvalues. It leads to the following result : the set of eigenvalues that are roots of unity of a morphic dynamical system defining an uniformly recurrent sequence is algorithmically computable. In order to determine if a morphic sequence has a constant arithmetic progression, we will consider the case of primitive substitutive sequences defined by a letter-to-letter morphism ; each morphic sequence can be construction in this way. If the substitution has constant length, we describe a method to compute each constant arithmetical progression, using a graph. If the substitution is of non-constant length, given an integer [p], we can check if the substitive sequence that we consider has a constant arithmetical progression with period [p]. We detail various examples to present the application of these methods for different morphic sequences. Some algorithms have been developped that allow us to go further in calculations. They are presented in annex of this thesis. A secont part of our work is devoted to sequences that are extracted periodically from substitutive sequences, and in particular the relation between the first sequence and the extracted sequence. We will recall in detail the algorithm that can construct a substitution generating the extracted sequence. Using this algorithm, we will compare the matrices of the two substitutions. We prove that they share the same dominant eigenvalue
Abstract FR:
L'objet central de cette thèse est l'étude des systèmes dynamiques substitutifs, ou plus généralement des systèmes dynamiques morphiques. Nous abordons deux questions liées à la périodicité pour de tels systèmes. Dans un premier temps, on cherchera à déterminer si une suite morphique uniformément récurrente possède une progression arithmétique constante. De façon équivalente, cela revient à déterminer si un cylindre de la forme [a] est visité avec une période donnée dans le système dynamique considéré, où a est une lettre de l'alphabet sur lequel est défini notre système. Cette périodicité est fortement liée aux valeurs propres racines de l'unité associées au système dynamique. Une première partie de notre travail consistera à déterminer ces valeurs propres. Celle-ci se conclut sur le résultat suivant : l'ensemble des valeurs propres racines de l'unité d'un système dynamique morphique définissant une suite uniformément récurrente est calculable algorithmiquement. Afin de déterminer si une suite morphique possède une progression arithmétique constante, on étudie le cas des suites substitutives primitives définies par un morphisme lettre-à-lettre ; nous verrons que toute suite morphique uniformément récurrente peut se décrire de cette façon. Dans le cas où la substitution est de longueur constante, nous présentons une méthode permettant de décrire toutes les progressions arithmétiques constantes à l'aide d'un graphe. Dans le cas contraire, étant donné un entier p, nous pouvons déterminer si la suite substitutive considérée possède une progression arithmétique constante de période p. Nous présentons des exemples variés qui illustrent ces méthodes pour différents suites morphiques. Des algorithmes ont été développés pour aller plus loin dans nos calculs. Ils sont présentés en annexe. Une autre partie de notre travail est consacrée aux suites extraites périodiquement des suites substitutives, et en particulier le lien entre la suite initiale et celle qui en a été extraite. Nous rappelons en détails l'algorithme permettant de construire une substitution engendrant la suite extraite. En nous appuyant sur cet algorithme, nous comparons les matrices des deux substitutions. Nous montrons qu'elles ont la même valeur propre dominante