Infinite-dimensional Thurston theory and transcendental dynamics with escaping singular orbits
Institution:
Aix-MarseilleDisciplines:
Directors:
Abstract EN:
The topic of this thesis is to distinguish and classify a family of transcendental entire functions in terms of the dynamics of their singular values. This classification follows the lead of Thurston’s famous characterization theorem of rational maps, but in the context of transcendental mappings, and works with infinite rather than finite dimensional Teichmüller theory.The families of maps that we investigate are compositions of exponential and polynomial functions, and we focus on the case where all singular values converge (fast) to infinity: this is in analogy to quadratic polynomials where the set of functions with singular values converging to infinity forms the complement of the celebrated Mandelbrot set. Even for polynomials, the situation becomes far more challenging when there is more than one singular value, as each singular value introduces another degree of freedom. In the transcendental case, the description of individual escaping singular values introduces additional challenges that have been understood only recently, and a classification of such maps is known so far only for the family of exponential maps.The construction of an entire transcendental function with prescribed speed of escape and combinatorics of singular values involves consideration of iterates of a map (in analogy to Thurston’s sigma-mapping) that acts on an infinite-dimensional Teichmüller space (more precisely, Teichmüller space modeled on the complement of singular orbits).
Abstract FR:
Le sujet de cette thèse est de distinguer et classifier une famille de fonctions entières transcendantes par la dynamique de leurs singularités. Cette classification suit la direction donnée par le célèbre théorème de Thurston de caractérisation des fonctions rationnelles, mais dans le cadre des fonctions transcendantes, ce qui nécessite de travailler avec la théorie de Teichmüller de dimension infinie plutôt que finie comme dans le théorème de Thurston.Les familles de fonctions que nous étudions sont des compositions de fonctions exponentielles et de polynômes, et nous mettons l'accent sur le cas où toutes les singularités s'échappent (vite) à l'infini. C'est en analogie avec la famille des polynômes quadratiques où l'ensemble de polynômes dont les singularités tendent vers l'infini forme le complémentaire du célèbre ensemble de Mandelbrot. Même pour les polynômes, la situation devient beaucoup plus difficile lorsque il y a plus d'une singularité, car chacune d'elles introduit un degré de liberté supplémentaire. Dans le cas des fonctions transcendantes, la description des singularités individuelles qui s'échappent introduit des défis supplémentaires qui ont été seulement récemment compris, et la classification de ces fonctions n'est seulement connu que pour la famille exponentielle. La construction d'une fonction entière avec la vitesse d'évasion et la combinatoire des singularités prescrites se ramène à l'étude des itérées d'une fonction (analogue à l'application de tirée en arrière de Thurston) qui opère sur un espace de Teichmüller de dimension infinie (plus précisément, l'espace de Teichmüller du complémentaire des orbites singulières).