Elliptic cocycle for GL_N(Z) and Hecke operators
Institution:
Sorbonne universitéDisciplines:
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Abstract EN:
A classical result of Eichler, Shimura and Manin asserts that the map that assigns to a cusp form f its period polynomial r_f is a Hecke equivariant map. We propose a generalization of this result to a setting where r_f is replaced by a family of rational function of N variables equipped with the action of GL_N(Z). For this purpose, we develop a theory of Hecke operators for the elliptic cocycle recently introduced by Charollois. In particular, when f is an eigenform, the corresponding rational function is also an eigenvector respect to Hecke operator for GL_N(Z). Moreover, the arithmetic information of modular forms are determined by the action of Hecke operators. Finally, we give some examples for Eisenstein series and the Ramanujan Delta function.
Abstract FR:
Un résultat classique d'Eichler, Shimura et Manin affirme que l’application qui assigne à une forme cuspidale f son polynôme de périodes r_f est compatible aux opérateurs de Hecke. On propose une généralisation de ce résultat à un cadre où r_f le polynôme de périodes est remplacé par une famille de fonctions rationnelles de N variables équipées de l’action de GL_N(Z). Pour cela, on développe une théorie des opérateurs de Hecke sur le cocycle elliptique récemment introduit par Charollois. En particulier, lorsque f est une forme propre, la fonction rationnelle correspondante est un vecteur propre par rapport à l’opérateur de Hecke sur GL_N(Z). De plus, les informations arithmétiques des formes modulaires sont déterminées par l’action des opérateurs de Hecke. Enfin, on donne quelques exemples pour la série d’Eisenstein et la fonction Delta de Ramanujan.