Correspondance thêta locale ℓ-modulaire
Institution:
Sorbonne universitéDisciplines:
Directors:
Abstract EN:
Let F be a local non archimedean field of characteristic not 2 and residual characteristic p. The local theta correspondence over F gives a bijection between some subsets of irreductible smooth complex reprensentations of a first reductive group H and a second reductive group H0, where (H,H0) is a dual pair in a symplectic group. Let R be a field of characteristic ℓ different from p. In this thesis, we give minimal conditions on R so thatStone-von Neumann’s theorem can be generalised in the setting of modular representation theory, which means when the coefficient field is R. This generalisation enables to define a modular Weil representation which verifies analogous properties to that of the complex case [MVW87]. When R is algebraically closed, we generalise the proof of the classical correspondence for non quaternionic dual pairs [GT16] under two assumptions. Firstly,the characteristic ℓ has to be greater than a certain explicit bound which depends on the pro-orders of H1 and H2. The second hypothesis have a deep connection to the theory of intertwining and would result from a better understanding of that theory in the modular setting.
Abstract FR:
Soit F un corps local non archimédien de caractéristique différente de 2 et de caractéristique résiduelle p. La correspondance thêta locale sur F établit une bijection entre des sous-ensembles de représentations lisses irréductibles complexes d’un premier groupe réductif H et d’un second groupe réductif H0, où (H,H0) forme une paire duale dans un groupe symplectique. Soit R un corps de caractéristique ℓ positive différente de p. Dans ce travail, on donne des conditions minimales sur R pour généraliser le théorème de Stone-von Neumann au cas des représentations modulaires i.e. à coefficients dans R. Cela permet ensuite de construire la représentation de Weil modulaire qui vérifie des propriétés analogues au cas complexe [MVW87]. Quand R est algébriquement clos, on généralise la preuve de la correspondance classique pour les paires duales non quaternioniques [GT16] sous deux hypothèses. La première est que ℓ soit suffisamment grand vis-à-vis d’une borne explicite dépendant des pro-ordres H1 et H2. La seconde est une hypothèse qui résulterait d’une meilleure connaissance de la théorie des opérateurs d’entrelacement dans le cas modulaire.