Infinite Horizon Control Problems under State Constraints and Hamilton-Jacobi-Bellman equations
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Sorbonne universitéDisciplines:
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Abstract EN:
In this thesis we address infinite horizon control problems subject to state constraints. Partial and full sensitivity relations are obtained for nonautonomous optimal control problems in this setting, assuming the associated value function to be locally Lipschitz in the state. We also discuss sufficient conditions for the Lipschitz regularity of the value function. We focus on problems with cost functionals admitting a discount factor and allow time dependent dynamics and Lagrangians. Furthermore, state constraints may be unbounded and may have a nonsmooth boundary. Lipschitz regularity is recov- ered as a consequence of estimates on the distance of a given trajectory from the set of all its viable (feasible) trajectories, provided the discount rate is sufficiently large. We investigate as well the existence and uniqueness of weak solutions of nonautonomous Hamilton-Jacobi-Bellman equations on the domain (0, ∞) × A. The Hamiltonian is assumed to be merely measurable in time and the set A is closed. When state constraints arise, the classical analysis of the Hamilton-Jacobi-Bellman equation lacks an appropriate notion of solution because continuous solutions may not exist. In this work, we propose a notion of weak solution for which, under a suitable controllability assumption, existence and uniqueness theorems are valid in the class of lower semicontinuous functions vanishing at infinity. Finally, we study an autonomous Hamilton-Jacobi-Bellman equation, with Dirichlet boundary conditions, on a compact subset. We give semiconcavity results on its (unique) solution and sensitivity relations in terms of differential inclusions, extending a known result for the point-to-point sub-Riemannian distance when the Hörmander condition holds true.
Abstract FR:
Dans cette thèse, nous abordons des problèmes de contrôle optimal non autonomes à l’horizon infini soumis à des contraintes d’état. Des relations de sensibilité, partielle et totale, sont obtenues, en supposant que la fonction valeur associée soit localement Lipschitzienne par rapport à la variable d’état. Nous discutons également des conditions suffisantes pour la régularité Lipschitz de la fonction valeur. Nous nous concentrons sur les problèmes liés aux fonctions de coût admettant un facteur d’actualisation, avec la dynamique et le Lagrangien dépendant du temps. De plus, les contraintes d’état peuvent être non-bornés et peuvent avoir une frontière non lisse. La régularité Lipschitz est obtenue à partir d’estimations sur la distance d’une trajectoire donnée de l’ensemble de toutes les trajectoires viables, à condition que le taux d’actualisation soit suffisamment élevé. Nous étudions également l’existence et l’unicité des solutions faibles des équations non autonomes d’Hamilton-Jacobi-Bellman sur un domaine de la forme (0, ∞)×A. L’Hamiltonien est supposé être uniquement mesurable par rapport au temps et l’ensemble A est fermé. En présence de contraintes d’état, (en général) l’équation d’Hamilton-Jacobi-Bellman n’admet pas de solutions continues. Dans ce travail, nous proposons une notion de solution faible pour laquelle, sous une hypothèse de contrôlabilité appropriée, les théorèmes d’existence et d’unicité sont valides dans la classe des fonctions semi-continues inférieurement s’annulant à l’infini. Enfin, nous étudions une équation autonome d’Hamilton-Jacobi-Bellman sur un sous-ensemble compact, avec des conditions de Dirichlet sur la frontière. Dans ce contexte, nous obtenons des résultats de semi-concavité de l’unique solution de l’équation et les relations de sensibilité sous la forme d’inclusions différentielles. Nous étendons ainsi un résultat connu pour la distance sous-Riemannienne sous la condition d’Hörmander.