Abstract FR:

Ce travail concerne la sensibilité différentielle d'un problème de programmation paramétrique. L'étude est menée sous des conditions du second ordre afin d'aboutir à la dérivabilité directionnelle des solutions optimales des problèmes perturbés. Les problèmes d'optimisation sont formulés avec des contraintes implicites en dimension infinie. Après l'étude de certaines conditions de qualification des contraintes, on introduit une condition de régularité directionnelle et du second ordre. La plupart des résultats reposent sur cette condition de régularité mais aussi sur des conditions suffisantes du second ordre. On s'intéresse au cas où le hessien du lagrangien est défini positif sur l'ensemble des directions critiques et vérifie une propriété de type ellipticite perturbée par compacité. On étudie notamment les propriétés de stabilité (continuité) des solutions optimales des problèmes perturbés dans une direction. En particulier, le comportement holderien et lipschitzien est approfondi. En s'appuyant sur l'étude de problèmes linéarisés et sur des notions de dualité, on analyse, en fonction de la perturbation, les propriétés de la valeur optimale des problèmes d'optimisation paramètres. L'existence de dérivées directionnelles du premier et du second ordre est alors établie. Pour conclure, on obtient la dérivabilité directionnelle des solutions optimales, en utilisant une propriété de densité relative à l'ensemble linéarisé au premier ordre des directions critiques selon une direction de perturbation. Une telle condition de densité est à mettre en parallèle avec le cas des convexes polyédriques. La dérivée des solutions optimales est alors obtenue à partir d'un problème quadratique avec contraintes (affines) issu de développements limites du second ordre.