Euler obstruction and generalizations
Institution:
Aix-MarseilleDisciplines:
Directors:
Abstract EN:
Let f, g : (X, 0) → (C, 0) be germs of analytic functions defined over a complex analyticspace X. The Brasselet number of a function f describes numerically the topology of its generalized Milnor fibre. In this thesis, we present formulas to compare the Brasselet numbers of f in X and of the restriction of f to X ∩ { g = 0 }, in the case where g has a one-dimensional stratified critical set and f has an arbitrary critical set. If, additionally, f has isolated singularity at the origin, we compute the Brasselet number of g in X and compare it with the Brasselet number of f in X. As a consequence, we obtain formulas to compute the local Euler obstruction of X and of X { g = 0 } at the origin, comparing these numbers with local invariants associated to f and g. We also study the local topology of a deformation of g, { g } = g+f N, for a positive integer number N>>1. We provide a relation between the Brasselet number of g and {g} in X ∩ { f=0 }, in the case where f has isolated singularity at the origin. We also provide a new proof for the Lê-Iomdine formula for the Brasselet number
Abstract FR:
Soit f, g : (X, 0)→ (C, 0) des germes des fonctions analytiques définies sur un espace analytique complexe X. Le nombre de Brasselet d’une fonction f décrit numériquement la topologie de la fibre de Milnor généralisée. Dans cette thèse, nous présentons des formules qui compare les nombres de Brasselet de f dans X et de f restreinte à X ∩ { g=0 } dans le cas où g a un ensemble critique stratifié de dimension un. Si, en plus, f a une singularité isolée à l’origine, nous déterminons le nombre de Brasselet de g dans X et nous le mettons en relation avec le nombre de Brasselet de f dans X. Par conséquence, nous obtenons des formules qui permet mesurer l’obstruction locale d’Euler de X e de X {g = 0} à l’origine, en comparant ces nombres avec des invariants locales associés à f et à g. Nous étudions aussi la topologie locale d’une déformation de g, {g} = g+f N, où N>>1. Nous donnons une relation des nombres de Brasselet de g et {g} dans X ∩ {f = 0}, dans le cas où f a une singularité isolée à l’origine. Nous présentons encore une nouvelle preuve pour la formule de Lê-Iomdine pour le nombre de Brasselet.