Automorphismes et variables de l'anneau de polynômes A[y1,. . . ,yn]
Institution:
Université Joseph Fourier (Grenoble)Disciplines:
Directors:
Abstract EN:
In a polynomial ring in n variables A\n=A[y1\tryn] with coefficients in a commutative ring A, a polynomial p=p(y1\tryn) is called a variable or an A-variable if there exists an (A-)automorphism α of A\n such that p=α(y1). In this thesis we give a quite general construction of variables of A\n conjugating automorphisms of A\n with automorphisms of (\QuotA)\n. We define residual variables which refer to polynomials that are variables modulo \Max for every maximal ideal \Max of A; in particular, when A=\C\x=\C[x1\trxk], one says \xb-residual variables. Of course, variables are residual variables, but what about the inverse implication? Using a Daigle and Freudenburg's result, we show that \xb-residual variables of \C\x[y,z] are actually \xb-variables. Variables naturally appear in Abhyankar-Sathaye's embedding problem. A polynomial p in A\n is called an (A-)hyperplane if the quotient of A\n by the principal ideal (p) generated by p is isomorphic to A[n−1]. Variables are hyperplanes and the problem consists in studying the inverse implication. In an article, written jointly with M. Kaliman and M. Zaidenberg and which is the last part of this thesis, we study hyperplanes of \C[x,y,z,u] of the form p=f(x,y)u+g(x,y,z). Up to a change of the variables x and y we show that those hyperplanes are also x-residual variables. Moreover we prove that they are x-planes of \Cx[y,z,u] and, that there exists an automorphism α of A[y,z,u,v] such that α((p,v))=(y,v). In some cases, for example when g has degree one in z, we manage to prove that they are x-variables. We also give a generalization of Wright's theorem showing that an x-plane of the form f(x,y,z)un+g(x,y,z), where n≥2, is an x-variable. However the problem remains unsolved when we consider, for instance, the polynomial y+x[xz+y(yu+z2)] which, although being an x-plane and an x-residual variable, does not seem to be an x-variable.
Abstract FR:
Dans un anneau de polynômes à n indéterminées A[n]=A[y1,. . . ,yn] à coefficients dans un anneau commutatif unitaire A on dit qu'un polynôme p=p(y1,. . . ,yn) est une variable ou A-variable s'il existe un (A-)automorphisme α de A[n] tel que p=α(y1). Dans cette thèse, on donne une construction assez générale de variables de A\n par conjugaison d'automorphismes de A\n avec des automorphismes de (QuotA)\n. On définit les variables résiduelles qui désigne des polynômes qui sont des variables modulo \Max pour tout idéal ma\-xi\-mal \Max de A, en particulier, lorsque A=\C\x=\C[x1\trxk], on parle de variables \xb-résiduelles. Bien entendu les variables sont des variables résiduelles mais la réciproque est-elle vraie? On montre, grâce à un résultat de Daigle et Freudenburg, que les variables \xb-résiduelles de \C\x[y,z] sont bien des \xb-variables. Les variables interviennent également dans les problèmes d'hyperplans plongés d'Abhyankar-Sathaye; un polynôme p de A\n est un (A-)hyperplan si le quotient de A\n par l'idéal principal engendré par p, (p) est isomorphe à A[n−1]. Les variables sont des hyperplans et on étudie là encore la réciproque. Dans l'article co-écrit avec M. M. Kaliman et Zaidenberg qui fait partie de cette thèse on étudie les hyperplans de \C[x,y,z,u] de la forme p=f(x,y)u+g(x,y,z). À un changement des variables x et y près on montre que ces hyperplans sont aussi des variables x-résiduelles et partant de là on montre que ce sont des x−plans (i. E. A-plans où A=\C[x]) de \Cx[y,z,u] et même qu'il existe un automorphisme α de A[y,z,u,v] tel que α((p,v))=(y,v). Dans certains cas, par exemple lorsque g est de degré un en z, on parvient à prouver que ce sont des x-variables. On donne aussi une généralisation d'un théorème de Wright en montrant qu'un x-plan de la forme f(x,y,z)un+g(x,y,z) où n≥2 est une x-variable. Cependant le problème reste irrésolu concernant, par exemple, le polynôme y+x[xz+y(yu+z2)] qui, bien qu'étant un x-plan et une variable x-résiduelle ne semble pas être une x-variable.