Analyse mathématique et numérique de problèmes d'ondes apparaissant dans les plasmas magnétiques
Institution:
Paris 6Disciplines:
Directors:
Abstract EN:
Cette thèse étudie les aspects mathématiques et numériques de phénomènes d’ondes dans les plasmas magnétiques. La réflectométrie,une technique de sonde des plasmas de fusion, est modélisée par les équations de Maxwell. Le tenseur de permittivité présentedans ce model des valeurs propres ainsi que des termes diagonaux qui s’annulent. La relation de dispersion met en évidence deuxphénomènes cruciaux : coupures et résonances, lorsque le nombre d’onde s’annule ou tend vers l’infini. La partie I rassemble les résultats numériques. La grande nouveauté réside dans la définition d’une solution résonante. En effet, àcause des coefficients s’annulant continuement en changeant de signe, la solution peut être singulière, i. E. Avoir une composante nonintégrable. Cependant, grâce au principe d’absorption limite, une solution résonante est explicitement définie comme la limite desolutions intégrables du problème régularisé. L’expression théorique de la singularité est validée par des tests numériques du passageà la limite. La partie II concerne l’approximation numérique. Elle comprend la mise en place d’une nouvelle méthode numérique adaptée auxcoefficients réguliers. Celle-ci est basée sur la Formulation Variationnelle Ultra Faible mais nécessite des fonctions de base spécifiques,construites comme approximations locales du problème adjoint. L’analyse de convergence est effectuée en dimesion un, en dimensiondeux la construction des fonctions de base et leur propritété d’interpolation sont détaillées. La méthode d’ordre élevé obtenue permetde simuler le phénomène de coupure tandis que simuler le phénomène de résonance en dimension deux reste un défi.
Abstract FR:
This dissertation investigates mathematical and numerical aspects of some wave phenomena appearing in magnetic plasmas. Inorder to model a probing technique for fusion plasmas, called reflectometry, a particular form of Maxwell’s equations is studied. Inthe model, the dielectric tensor presents vanishing eigenvalues and diagonal terms. The study of the dispersion relation evidencestwo kinds of phenomena: cut-offs and resonances if the wave number goes either to zero or to infinity. Part I of the thesis gathers the theoretical results. The main novelty consists in the definition of a resonant solution. Indeed, becauseof a smooth vanishing sign-changing coefficient, the solution may be singular: one of its components may be non-integrable. However,using a limit absorption principle, a resonant solution is explicitly obtained by studying the integrable solutions of the regularizedsystem plus a limiting process. The theoretical expression of the singularity is validated by numerical tests concerning the regularizedsystem as the regularizing term goes to zero. Part II focuses on the numerical results. It includes the design of a new numerical method adapted to smooth coefficients. Themethod is based on the Ultra Weak Variational Formulation but requires specific shape functions, designed as local approximationsof the adjoint equation. The convergence analysis of the method is performed in one dimension, for two dimensions the designprocedure and the interpolation property of the shapes functions are detailed. The resulting high order method numerically tacklesthe approximation of cut-offs while the approximation of resonant solutions is still very challenging.