Quelques constructions autour de la stabilité de fibrés vectoriels sur les variétés projectives
Institution:
Paris 7Disciplines:
Directors:
Abstract EN:
This is a work on stability of vector bundles. It is made of four chapters. The first one is introductive, there we define ail the necessary notions to deal with stability, such as intersection theory, Chern classes, the motivations and definition of stability, and some notions about metrics of a stable bundle. There are no new results and ail references to the existing constructions in the literature are included. The other three parts are independent but related results. In the second chapter we show that stable bundles can be taken as generators of the Chow ring, the K-theory and the derived category of a smooth projective variety. We use a polystable resolution of ideal sheaves. This construction leads to some natural questions, which can be found in various other contexts in the literature,which are partially answered in the other chapters. The third chapter is dedicated to the investigation about stability of vector bundles that we call transforms. These are kernels of evaluation maps on subspaces of the space of global sections of a sheaf. Stability is shown for transforms of line bundles with repsect to low codimensional subspaces. The fourth chapter consists in a similar question, concerning stability of tautological sheaves and their transforms on a symmetric product of curves.
Abstract FR:
Cette thèse est un travail autour de la stabilité de fibres vectoriels. Elle est divisée en quatre parties. Dans la première partie introductive on définit les notions nécessaires pour étudier la stabilité: théorie de l'intersection, classes de Chern, On donne en suite les motivations et la définition de la stabilité. Il n'y a pas de résultats originaux et les références sont indiquées. On présente dans les trois autres parties des résultats originaux, indépendant les uns des autres. Dans la deuxième partie on montre que sur chaque variété projective lisse sur un corps algébriquement clos, les fibres stables fournissent un ensemble de générateurs pour l'anneau de Chow de la variété. On utilise une résolution d'un faisceau d'idéaux par des fibres polystables. Cette construction soulève d'autres questions, que l'on peut trouver dans la littérature dans plusieurs contextes différents. On répond partiellement à ces questions dans les autres parties. Le troisième chapitre est dédié à l'étude de la stabilité des fibres qu'on appelle transformées. Ce sont les noyaux de morphismes d'évaluation sur des sous-espaces de l'espace des sections globales d'un faisceaux. La stabilité est montrée pour des transformées de faisceaux inversibles par rapport à des sous-espaces de petite codimension. La quatrième partie concerne une question semblable pour les fibres tautologiques sur le produit symétrique d'une courbe.