Abstract FR:

Si l'on dispose d'une variete algebrique x definie sur un corps fini de caracteristique p, d'un morphisme f de cette variete sur la droite affine et d'un caractere additif non trivial de ce corps fini, on sait definir des sommes exponentielles sur x. L'objectif de cette these est d'etudier ces sommes, via la formule des traces, a l'aide de la cohomologie rigide, une theorie construite par berthelot. On cherche pour cela des conditions sur x et f pour que tous les espaces de cohomologie rigide associes soient tous nuls sauf un. Il est alors plus aise de determiner les poids du frobenius sur cet espace non nul, et la dimension de ce dernier. On se restreint d'abord a certains ouverts de l'espace affine, sur lesquels adolphson et sperber ont developpe une theorie de dwork. Lorsque f est tres commode, nous construisons un isomorphisme naturel entre les groupes de cohomologie rigide et les espaces de banach p-adiques de adolphson et sperber. On peut alors utiliser leur travail, qui nous donne la dimension de l'espace de cohomologie rigide en fonction du polyedre de newton de f. Denef et loeser, sous les memes hypotheses, prouvent un resultat de purete, que nous appliquons ici. Lorsque les hypotheses sont plus faibles, nous construisons une graduation explicite par le poids des espaces non nuls. Lorsque x est plus generalement une variete lisse d'intersection complete, on montre, sous des hypotheses supplementaires du type transversalite des fibres geometriques de f, que tous les groupes sont nuls sauf un, que ce dernier est pur de poids la dimension de x, et on donne sa dimension.