Un théorème de Gallagher pour la fonction de Möbius
Institution:
Aix-MarseilleDisciplines:
Directors:
Abstract EN:
The Möbius function is defined by μ(n)= { 1{if n=1} \\ (-1)^k{if n is a product of k distinct prime numbers} \\ 0{if n contains a square factor} }. We demonstrate that for x≥exp(10⁹) and h=x^{1−{1/16000}}, it exists in each interval [x-h,x] integers n₁ with μ(n₁)=1 and integers n₂ with μ(n₂)=-1. This result is a consequence of a more general result. For x≥exp(4x10⁶), 1/(√(logx))≤θ≤1/2000, h=x^{1−θ} and Q=(x/h)^{1/20}, we have ∑_{q≤Q} log(Q/q) | ^∗∑_{χmodq} ∣ ∑_{x.−h≤n≤x} μ(n)χ(n) ∣ ≤ 10²⁰ hθ log(x) exp(−1/300θ); the sum ∑* relating to primitive characters except for possible exceptional character. And in particular for x≥exp(10⁹), ∣ ∑_{x−.x^{1−1/16000}≤n≤x} μ(n) ∣ ≤ 1/100x^{1−1/16000}.
Abstract FR:
La fonction de Möbius est définie par μ(n)= { 1{si n=1} \\ (-1)^k{si n est le produit de k nombres premiers distincts} \\ 0{si n contient un facteur carré} }. Nous avons démontré que pour x≥exp(10⁹) et h=x^{1−{1/16000}}, il existe dans chaque intervalle [x-h,x] des entiers n₁ avec μ(n₁)=1 et des entiers n₂ avec μ(n₂)=-1. Ce résultat est une conséquence d'un résultat plus général. Pour x≥exp(4x10⁶), 1/(√(logx))≤θ≤1/2000, h=x^{1−θ} et Q=(x/h)^{1/20} nous avons ∑_{q≤Q} log(Q/q) | ^∗∑_{χmodq} ∣ ∑_{x.−h≤n≤x} μ(n)χ(n) ∣ ≤ 10²⁰ hθ log(x) exp(−1/300θ); la somme ∑* portant sur les caractères primitifs sauf l'éventuel caractère exceptionnel. Et en particulier pour x≥exp(10⁹),∣ ∑_{x−.x^{1−1/16000}≤n≤x} μ(n) ∣ ≤ 1/100x^{1−1/16000}.