Abstract FR:

Ce mémoire présente une étude de quelques équations aux dérivées partielles non-linéaires associées à des problèmes de frontière libre, et particulièrement celles qui sont associées à l'évolution de courbes ou de surfaces dans la direction de leur normale et avec une vitesse qui est fonction de la courbure moyenne. Dans la première partie, nous présentons une étude de l'évolution anisotrope affine de courbes planes, fermées et convexes : nous montrons l'existence globale ou locale de la solution de l'équation aux dérivées partielles associée à cette évolution. Nous donnons quelques résultats numériques concernant cette évolution anisotrope. Dans la deuxième partie, nous étudions l'epsilon régularisation du problème de «flot à courbure moyenne». Cette technique a été initiée il y a quelques années pour prouver l'existence d'une solution de viscosité du problème de flot à courbure moyenne, lorsque des singularités apparaissent au cours de l'évolution ou si la surface initiale possède des singularités. En vue d'une étude numérique, on cherche à savoir quelle est la vitesse de convergence de la solution du problème régularisé vers la solution du problème original, quand le paramètre epsilon tend vers zéro, et dans quelle topologie on a cette convergence. Nous étudions le cas unidimensionnel et nous montrons qu'il existe un développement asymptotique de la solution du problème régularisé en fonction de epsilon et de ses puissances, tel que le premier terme du développement soit la solution de viscosité du problème de flot à courbure moyenne. De plus, nous prouvons que ce développement a un sens dans des espaces de Sobolev avec poids. Enfin, nous donnons une estimation de la vitesse de convergence dans ces mêmes topologies. On considère différents types de conditions aux limites. La troisième partie traite de la régularisation du problème de flot à courbure moyenne pour des surfaces axisymétriques. Nous y démontrons des résultats analogues à ceux obtenus dans la deuxième partie.