Abstract FR:

On introduit trois types de structures géométriques nouvelles sur des variétés différentiables : formes de contact généralisé, couples de contact et couples contacto-symplectiques. Une forme de contact généralisé sur M est une 2k + 1-forme ω telle que ω∧dω soit une forme volume. Plusieurs exemples sont construits et on donne un critère local qui permet de montrer que tous ces exemples ne sont pas triviaux dans le sens qu'ils ne sont pas de la forme α ∧ dαk (où α est une forme de contact). Un couple de contact sur M est un couple (α, β) de formes de Pfaff de classe constante 2k + 1 et 2h + 1 respectivement et telles que la forme α ∧ dαk ∧ β ∧ dβh soit une forme volume. Chacune de ces formes détermine un feuilletage caractéristique dont les feuilles sont des variétés de contact. Ces feuilletages sont transverses et supplémentaires. La géométrie de tels objets est très riche car on peut naturellement leur associer deux champs de Reeb qui commutent, deux types de courbes de Legendre et deux crochets de Poisson. D'une manière similaire on définit un couple contacto-symplectique. Pour les deux dernières structure on démontre qu'il y a un unique modèle local et on construit plusieurs exemples non triviaux dans les groupes de Lie et dans les fibrés principaux en tores. Comme conséquence de la théorie des couples contacto-symplectiques on construit des exemples de champs de vecteurs (sur des variétés de contact) sans transversale fermée et qui ne sont le champ de Reeb d'aucune forme de contact. Ce qui répond à un célèbre problème de Reeb.