Abstract FR:

Le but de ce travail est l'étude et la construction de structures affines sur une algèbre de Lie, ce qui correspond au problème d'existence de connexions affines, sans courbure ni torsion, invariantes à gauche sur un groupe de Lie. L'existence d'une telle structure munit l'espace vectoriel sous-jacent à l'algèbre de Lie d'une autre structure d'algèbre appelée algèbre symétrique gauche ou algèbre de Vinberg qui, par antisymétrie, redonne la structure d'algèbre de Lie. On étudie également la complétude de la structure et on définit un produit scalaire associé permettant dans certains cas de munir un groupe de Lie associé d'une structure hessienne. On propose ici une approche de ces algèbres au travers des algèbres Lieadmissibles. Par définition, une algèbre est Lie-admissible si le produit X. Y vérifie que X. Y-Y. X est un crochet de Lie. La classe des algèbres Lie-admissibles contient en particulier les algèbres de Lie, de Vinberg et associatives. La variété algébrique des algèbres Lie-admissibles est naturellement fibrée au-dessus de la variété des algèbres de Lie. Le problème d'existence d'une structure affine revient à examiner l'intersection de la sous-variété des algèbres de Vinberg avec les fibres. L'idée de déformer une structure d'algèbre de Lie considérée comme algèbre Lie-admissible en une structure d'algèbre de Vinberg appartenant à la même fibre est donc naturelle. Ceci conduit à définir de manière précise les cohomologies de ces algèbres et à connaître précisemment leurs opérades associées. La deuxième approche est plus géométrique. On montre que les algèbres filiformes non caractéristiquement nilpotentes sont affines. On étudie également toutes les structures affines sur les algèbres abéliennes de dimensions 2 et 3 (en particulier les structures non complètes). On donne les conditions algébriques nécessaires à l'obtention d'une structure sur une algèbre de Lie de contact à partir d'une extension centrale d'une algèbre symplectique.