Abstract FR:

Une algèbre de Lie complexe de dimension finie dont le deuxième espace de cohomologie est nul est rigide ; cette condition n'est pas nécessaire. Les premiers contre-exemples donnés par Richardson sont des produits semi directs de sl(2,C) par des représentations irréductibles de sl(2,C) (ce résultat est dans ce mémoire démontré directement). Le but de ce travail est l'étude de la rigidité d'algèbres de Lie sl(2) + r, où le radical est un sl2-module réductible, somme directe de deux modules irréductibles. On a montré en particulier que 1) si les deux représentations sont de dimensions paires, alors le produit semi direct de sl2 par les algèbres abéliennes que constituent ces représentations sont rigides ; 2) si les deux représentations sont de même dimension 2k+1, la parité de k permet d'obtenir des algèbres de Lie rigides à cohomologie nulle (k pair) ou non nulle (k impair) ; 3) si l'une des représentations est de dimension paire et l'autre de dimension impaire des conditions sur la dimension de ces représentations impliquent la rigidité de ces algèbres ; 4) si les deux représentations sont de dimensions impaires, on construit des algèbres de Lie rigides et des algèbres de Lie non rigides ; 5) les algèbres de Lie nilpotentes filiformes sont non rigides