Abstract FR:

On définit, dans un espace métrique compact, l'ensemble des antipodes d'un point comme la sphère non vide de rayon maxirnal centrée en ce point. Ce mémoire porte sur l'étude des antipodes d'un point d'une surface (polyèdrale ou riemannienne), et en particulier sur l'ensemble A2 des points admettant au moins deux antipodes. Dans le cas d'une surface polyèdrale, nous démontrons que l'ensemble A2 est inclus dans une union finie de courbes algébriques, et donnons une condition suffisante pour qu'il soit non vide. Dans le cas d'une surface riemannienne homéomorphe à la sphère de dimension deux, nous démontrons que A2 est, en particulier, de mesure nulle et de première catégorie de Baire. Dans le cas d'une surface C' (de topologie quelconque) munie d'une métrique riemannienne générique, nous montrons qu'un point générique est joint à son unique antipode par exactement trois géodésiques minimisantes. En particulier A2 est de première catégorie de Baire. Ceci restera valable pour une variété de dimension supérieure.