Inversion de la divergence et systèmes de Hodge
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Abstract EN:
The main purpose of the present thesis is to study the existence of solutions of underdetermined Hodge systems in “critical” function spaces. The simplest Hodge system is the (single) divergence equation: div u=f,on R^d,(*) where f is a given function and u a vector field. As long as 1 <p< ∞, if f is an L^p compactly supported function with zero integral, the standard elliptic theory provides a solution u to (*) whose gradient belongs to L^p. On the other hand, when p =1 or p =∞, there exist functions f in L^p which are compactly supported of integral zero, and such that (*) does not have solutions u with gradient in L^p. This nonexistence results were proved by Wojciechowski (1999), Bourgain-Brezis (2003) in the case where p=1, and by Preiss (1997), McMullen (1998) in the case where p =∞. We obtain similar nonexistence results in the case of more general undeterminated Hodge systems of the form d u=f,on R^d,(**) where f is a prescribed closed l-form and u is an (l -1)-form. Using a new type of approximation result for functions in critical Sobolev spaces, Bourgain and Brezis (2007), showed that if f has L^d coefficients then there exists an (l -1)-form u, solution of (**), whose coefficients are bounded and have the gradient in L^d. Following their idea, Wang, Yung (2014) extended the result to the more general case of stratified homogeneous groups and later Bousquet, Russ, Wang, Yung (2017) obtained an Euclidean version for higher regularity Sobolev spaces. We unify under a common roof the two aforementioned results, obtaining a version for higher regularity Sobolev spaces in the context of stratified homogeneous groups. We also investigate several other related topics. We study the divergence equation when the source term is a nonnegative measure, we obtain improved versions of the nonexistence result of Preiss and McMullen and we analyze the multipliers of the homogeneous Sobolev spaces W^(k,p) (R^d), when p =1 or p=∞ and k ≥1 is an integer. Aside from these topics, we study a problem concerning minimal BV-liftings of complex unimodular maps
Abstract FR:
L’objectif principal de cette thèse est d’étudier l’existence de solutions de systèmes de Hodge indéterminés dans des espaces fonctionnels “critiques”. L’exemple le plus simple est l’équation de la divergence : div u=f,sur R^d,(*) où f est une fonction donnée et u un champ vectoriel. Si 1 < p <∞ et f est une fonction L^p à support compact d’intégrale nulle, alors la théorie elliptique standard implique l’existence d’une solution de (*) dont le gradient appartient à L^p. En revanche, lorsque p =1 ou p=∞, il existe des fonctions f dans L^p, à support compact et d’intégrale nulle telles que (*) n’a pas de solutions u à gradient dans L^p. Ces résultats de non existence ont été prouvés par Wojciechowski (1999), Bourgain-Brezis (2003), pour le cas p= 1, et par Preiss (1997), McMullen (1998), pour le cas p =∞. Nous obtenons des résultats similaires de non existence dans le cas plus général des systèmes de Hodge indéterminés de la forme d u=f,sur R^d,(**) où f est une l-forme fermée prescrite et u est une (l -1)-forme. En utilisant un nouveau résultat d’approximation pour les fonctions dans les espaces Sobolev critiques, Bourgain et Brezis (2007) ont montré que si f a les coefficients L^d, alors il y a une solution u pour (**) dont les coefficients sont bornés et dont le gradient appartient à L^d. En utilisant leur idée, Wang, Yung (2014) ont étendu ce résultat au cas plus général des groupes homogènes stratifiés et plus tard, Bousquet, Russ, Wang, Yung (2017) ont obtenu une version euclidienne pour les espaces de Sobolev critiques avec une plus grande régularité. Nous unifions les deux résultats mentionnés ci-dessus, obtenant une version pour les espaces de Sobolev critiques avec une plus grande régularité dans le contexte des groupes stratifiés homogènes. D’autres sujets connexes sont étudiés. Nous étudions l’équation de divergence avec, comme terme source, une mesure positive, nous fournissons une version améliorée du résultat de non existence de Preiss et McMullen, et nous analysons les multiplicateurs dans les espaces de Sobolev homogènes W^(k,p) (R^d), lorsque p =1 ou p =∞ et k ≥1 est un entier. Par ailleurs, nous étudions un problème concernant les relèvements BV-minimaux des fonctions complexes unimodulaires